Question

已知函數(shù)f（x）滿足：（1）對(duì)于任意的x₁，x₂∈R，有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）；（2）滿足“對(duì)任意x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0”，下列函數(shù)滿足這些條件的函數(shù)是（　�。�

• A、f（x）=lnx
• B、f（x）=x 

  1

  3

• C、f（x）=a^x（0＜a＜1）
• D、f（x）=a^x（a＞1）

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意得到函數(shù)f（x）在R上為減函數(shù)，故排除A，B，D，再進(jìn)一步驗(yàn)證c是否成立，利用指數(shù)冪的性質(zhì)即可得到C滿足條件．

解答： 解：對(duì)任意x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0”，
∴函數(shù)f（x）在R上為減函數(shù)，故排除A，B，D
∵對(duì)于任意的x₁，x₂∈R，有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）；
對(duì)于C，f（x）=a^x，f（x₁+x₂）=a^{（x₁+x₂）}=a^x₁•a^x₂=f（x₁）•f（x₂），成立，
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題