Question

如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)分別在棱BB₁，DD₁上，且AF∥EC₁．
（1）求證：AE∥FC₁；
（2）若AA₁⊥平面ABCD，四邊形AEC₁F是邊長為的正方形，且BE=1，DF=2，求線段CC₁的長，并證明：AC⊥EC₁．

Answer 1

解：（1）∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是平行四邊形，
∴AA₁∥DD₁，AB∥CD…（1分）
∵DD₁、CD⊆平面CDD₁C₁，AA₁、AB?平面平面CDD₁C₁，
∴AA₁∥平面CDD₁C₁，AB∥平面CDD₁C₁，…（3分）
∵AA₁、AB⊆平面AA₁B₁B，且AA₁∩AB=A，
∴平面AA₁B₁B∥平面CDD₁C₁，…（4分）
∵AF∥EC₁，∴A、E、C₁、F四點(diǎn)共面．…（5分）
∵平面AEC₁F∩平面AA₁B₁B=AE，平面AEC₁F∩平面CDD₁C₁=FC₁，
∴AE∥FC₁；…（7分）
（2）設(shè)連接AC、BD，交于O點(diǎn)．連接AC₁、EF，交于點(diǎn)O₁，連接O₁O
∵四邊形ABCD，四邊形AEC₁F都是平行四邊形，
∴O為AC、BD的中點(diǎn)，O₁為AC₁、EF的中點(diǎn)．…（8分）
∵BE∥DF，∴O₁O=C₁C=（BE+EF）．
∵BE=1，DF=2，∴CC₁=3…（10分）
∵AA₁⊥平面ABCD，四邊形AEC₁F是正方形，
∴△ACC₁，△ABE，△ADF均為直角三角形，得
AC²=-=2AE²-=12-9=3，AB²=AE²-BE²=6-1=5
BC²=AD²=AD²-DF²=6-4=2
∴AC²+BC²=5=AB²，可得AC⊥BC．…（12分）
∵BB₁⊥平面ABCD，AC⊆平面ABCD
∴AC⊥BB₁．
∵BC、BB₁是平面BB₁C₁C內(nèi)的相交直線
∴AC⊥平面BB₁C₁C …（13分）
∵EC₁⊆平面BB₁C₁C
∴AC⊥EC₁ …（14分）
分析：（1）根據(jù)四棱柱的底面ABCD是平行四邊形，得四棱柱為平行六面體，可得平面AA₁B₁B∥平面CDD₁C₁，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，可證出AE∥FC₁；
（2）設(shè)連接AC、BD，交于O點(diǎn)．連接AC₁、EF，交于點(diǎn)O₁，連接O₁O．利用△ACC₁與梯形BEFD有公共的中位線，得C₁C=BD+EF=3．分別在Rt△ACC₁、Rt△ABE和Rt△ADF中，用勾股定理加以計(jì)算，得AC²+BC²=5=AB²，可得AC⊥BC，結(jié)合AC⊥BB₁，得AC⊥平面BB₁C₁C，從而證出AC⊥EC₁．
點(diǎn)評：本題主要考察空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，考查線線、線面平行的性質(zhì)和判定，線線垂直的性質(zhì)和判定，考查空間想象能力、運(yùn)算能力、把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的意識以及推理論證能力．