【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）已知且，若函數(shù)沒有零點，求證：．

【答案】(1)見解析 (2)證明見解析

【解析】

(1)求導后分和兩種情況進行討論即可.

(2)由題函數(shù)沒有零點,轉(zhuǎn)換為與在無交點,再求導分析的單調(diào)性與最值,進而求得的取值范圍.再代入,構造函數(shù)分析單調(diào)性與最值證明即可.

解法一：（1）

當時，令得或；

令得．

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，

單調(diào)遞減區(qū)間為

當時，令得；

令得或．

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，

單調(diào)遞減區(qū)間為和.

綜上所述,當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和.

（2）函數(shù)在時無零點，即在無解

則與在無交點

，在上單調(diào)遞增

，∴

則

由（1）得在上單調(diào)遞增

要證

即證

即證

即證

令

在時單調(diào)遞增，

所以原不等式成立．

解法二：（1）同解法一

（2）函數(shù)在時無零點，即在無解

則與在無交點

，在上單調(diào)遞增

，∴

則

要證，

即證，

即證

因為，

所以只需證 ，

即證 ，

令

，

在時單調(diào)遞增，

，

所以原不等式成立．

練習冊系列答案
相關習題

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根據(jù)該折線圖可知，下列說法錯誤的是（ ）

A. 該超市2018年的12個月中的7月份的收益最高

B. 該超市2018年的12個月中的4月份的收益最低

C. 該超市2018年1-6月份的總收益低于2018年7-12月份的總收益

D. 該超市2018年7-12月份的總收益比2018年1-6月份的總收益增長了90萬元

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（1）求橢圓的方程；

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