設(shè)函數(shù)f(x)=
x2+1
-ax
,其中a>0,
(1)解不等式f(x)≤1;
(2)證明:當(dāng)a≥1時,函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上是單調(diào)函數(shù).
分析:(1)不等式f(x)≤1,轉(zhuǎn)化為一元二次不等式組,根據(jù)a的范圍求解不等式即可.
(2)當(dāng)a≥1時,利用函數(shù)單調(diào)性的定義,即:在區(qū)間[0,+∞)上任取x1,x2,使得x1<x2,證明f(x1)-f(x2)>0,從而證明函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上是單調(diào)減函數(shù).
解答:(1)解:不等式f(x)≤1即
x2+1
≤1+ax
,
由此得1≤1+ax,即ax≥0,其中常數(shù)a>0.
所以,原不等式等價于
x2+1≤(1+ax)2
x≥0.

x≥0
(a2-1)x+2a≥0
(3分)
所以,當(dāng)0<a<1時,所給不等式的解集為{x|0≤x≤
2a
1-a2
}
;
當(dāng)a≥1時,所給不等式的解集為{x|x≥0}.(6分)
(2)證明:在區(qū)間[0,+∞)上任取x1,x2
使得x1<x2f(x1)-f(x2)=
x
2
1
+1
-
x
2
2
+1
-a(x1-x2)

=
x
2
1
-
x
2
2
x
2
1
+1
+
x
2
2
+1
-a(x1-x2)

=(x1-x2)(
x1+x2
x
2
1
+1
+
x
2
2
+1
-a).(9分)

x1+x2
x
2
1
+1
+
x
2
2
+1
<1,且a≥1
,
x1+x2
x
2
1
+1
+
x
2
2
+1
-a<0
,
又x1-x2<0,
∴f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2).
所以,當(dāng)a≥1時,函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù).(12分)
點評:本小題主要考查不等式的解法、函數(shù)的單調(diào)性等基本知識,分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和運算、推理能力.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

當(dāng)p1,p2,…,pn均為正數(shù)時,稱
n
p1+p2+…+pn
為p1,p2,…,pn的“均倒數(shù)”.已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且其前n項的“均倒數(shù)”為
1
2n+1

(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)cn=
an
2n+1
(n∈N*),試比較cn+1與cn的大;
(3)設(shè)函數(shù)f(x)=-x2+4x-
an
2n+1
,是否存在最大的實數(shù)λ,使當(dāng)x≤λ時,對于一切正整數(shù)n,都有f(x)≤0恒成立?

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設(shè)函數(shù)f(x)=
x2+bx+c,(x<0)
-x+3,(x≥0)
,且f(-4)=f(0),f(-2)=-1.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式; 
(2)畫出函數(shù)f(x)的圖象,并指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
(3)若方程f(x)=k有兩個不等的實數(shù)根,求k的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知△ABC中,角A,B,C所對邊長分別是a,b,c,設(shè)函數(shù)f(x)=x2+bx-
1
4
為偶函數(shù),且f(cos
B
2
)=0

(1)求角B的大。
(2)若△ABC的面積為
3
4
,其外接圓的半徑為
2
3
3
,求△ABC的周長.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
x2+bx+c,-4≤x<0
-x+3,0≤x≤4
,且f(-4)=f(0),f(-2)=-1.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)畫出函數(shù)f(x)的圖象,并寫出函數(shù)f(x)的定義域、值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
x2-x+n
x2+x+1
(x∈R,x≠
n-1
2
,x∈N*)
,f(x)的最小值為an,最大值為bn,記cn=(1-an)(1-bn
則數(shù)列{cn}是
常數(shù)
常數(shù)
數(shù)列.(填等比、等差、常數(shù)或其他沒有規(guī)律)

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