Question

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=

b-3x

a+3x+1

是奇函數(shù)
（1）求a，b的值；
（2）試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）若對(duì)?t∈[1，32]，都有f（lo

g

2 2

t-log2t4）+f（log₂t-k）＜0，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（x）=

b-3x

a+3x+1

是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，則f（0）=0，f（-1）=-f（1），代入構(gòu)造關(guān)于a，b的方程，解方程可得a，b的值；
（2）利用分離常數(shù)法，我們將函數(shù)解析式化為f（x）=-

1

3

+

2

3(1+3x)

的形式，進(jìn)而結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和分析法，可分析出函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)論，我們可將上述不等式轉(zhuǎn)化為k＜lo

g

2 2

t-3log2t對(duì)?t∈[1，32]恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題進(jìn)而得到k的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=

b-3x

a+3x+1

是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)
∴f（0）=0，f（-1）=-f（1）
即

b-1

a+3

=0，

b-3

a+9

=-

b- 1 3

a+1

解得b=1，a=3
（2）由（1）得f（x）=

1-3x

3+3x+1

=-

1

3

+

2

3(1+3x)

∵函數(shù)y=1+3^x在R上單調(diào)遞增，
則函數(shù)y=

2

3(1+3x)

在R上單調(diào)遞減，
故函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減
（3）由（1）（2）得函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減的奇函數(shù)
∴f（lo

g

2 2

t-log2t4）+f（log₂t-k）＜0可化為
f（lo

g

2 2

t-log2t4）＜-f（log₂t-k）
即f（lo

g

2 2

t-log2t4）＜f（k-log₂t）
即lo

g

2 2

t-log2t4＞k-log₂t
即k＜lo

g

2 2

t-3log2t
令y=lo

g

2 2

t-3log2t（t∈[1，32]）
則當(dāng)log2t=

3

2

時(shí)，函數(shù)取最小值為-

9

4

故k＜-

9

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性與函數(shù)單調(diào)性，及恒成立問題，是函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度屬于中檔．