如圖，圓O的半徑OB垂直于直徑AC，M為OA上一點(diǎn)，BM的延長(zhǎng)線(xiàn)交圓O于N，過(guò)N點(diǎn)的切線(xiàn)交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于P。

（1）求證：PM2=PA·PC

（2）若圓O的半徑為，OA=OM,求MN的長(zhǎng)。

 

【答案】

（1）證明略    （2）MN =2．

【解析】（1）做出輔助線(xiàn)連接ON，根據(jù)切線(xiàn)得到直角，根據(jù)垂直得到直角，即∠ONB+∠BNP=90°且∠OBN+∠BMO=90°，根據(jù)同角的余角相等，得到角的相等關(guān)系，得到結(jié)論．

（2）本題是一個(gè)求線(xiàn)段長(zhǎng)度的問(wèn)題，在解題時(shí)，應(yīng)用相交弦定理，即BM•MN=CM•MA，代入所給的條件，得到要求線(xiàn)段的長(zhǎng)．

（2）∵OA= 3 OM=2 3 ，∴OM=2，BM2= OB 2+OM 2 =42；故MA=OA-OM= -2，CM=CO+OM=+2

又相交弦定理得：CM•MA=BM•MN⇒MN=CM•MA BM =(+2)(  -2) /4 =2．答案為：2．

 

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選修4-1：幾何證明選講

如圖，圓O的半徑OB垂直于直徑AC，M為OA上一點(diǎn)，BM的延長(zhǎng)線(xiàn)交圓O于N，過(guò)N點(diǎn)的切線(xiàn)交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于P。

 

 

（1）求證：PM2=PA·PC

（2）若圓O的半徑為，OA=OM,求MN的長(zhǎng)。

 

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（本小題滿(mǎn)分10分）選修4-1：幾何證明選講

如圖，圓O的半徑OB垂直于直徑AC，M為OA上一點(diǎn)，BM的延長(zhǎng)線(xiàn)交圓O于N，過(guò)N點(diǎn)的切線(xiàn)交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于P。

 

 

（1）求證：PM2=PA·PC

（2）若圓O的半徑為，OA=OM,求MN的長(zhǎng)。

 

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如圖，圓O的半徑OB垂直于直徑AC，M為OA上一點(diǎn)，BM的延長(zhǎng)線(xiàn)交圓O于N，過(guò)N點(diǎn)的切線(xiàn)交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于P。

（1）求證： ；

（2）若圓O的半徑，OA=OM,求MN的長(zhǎng)。

 

 

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如圖，圓O的半徑OB垂直于直徑AC，M為OA上一點(diǎn)，BM的延長(zhǎng)線(xiàn)交圓O于N，過(guò)N點(diǎn)的切線(xiàn)交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于P。（1）求證：=；（2）若圓O的半徑，OA=OM,求MN的長(zhǎng)。

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