Question

1+log₂x=2log₂（x-a）恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先化簡(jiǎn)1+log₂x=2log₂（x-a），可得log₂2x=2log₂（x-a），所以

x＞0 x-a＞0 x-a= 2x

；然后根據(jù)關(guān)于x的二元一次方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，可得直線y=x-a與曲線y=

2x

在平面直角坐標(biāo)系中有且只有一個(gè)交點(diǎn)，分別畫出直線y=x-a與曲線y=

2x

的圖象，判斷出a的取值范圍即可．

解答： 解：由1+log₂x=2log₂（x-a），
可得log₂2x=2log₂（x-a），
所以

x＞0 x-a＞0 x-a= 2x

；
因?yàn)殛P(guān)于x的二元一次方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，
所以直線y=x-a與曲線y=

2x

在平面直角坐標(biāo)系中有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
①當(dāng)直線y=x-a與曲線y=

2x

相切時(shí)，
由x-a=

2x

，可得x²-2（a+1）x+a²=0，
△=0，可得4（a+1）²-4a²=0，
解得a=-

1

2

；
②根據(jù)圖象，可得當(dāng)-a≤0，即a≥0時(shí)，直線y=x-a與曲線y=

2x

恒有一個(gè)交點(diǎn)，
綜上，a的取值范圍為：a≥0或a=-

1

2

．
故答案為：a≥0或a=-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了根的存在性以及根的個(gè)數(shù)的判斷，考查了數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用，屬于中檔題，解答此題的關(guān)鍵是分析出直線y=x-a與曲線y=

2x

在平面直角坐標(biāo)系中有且只有一個(gè)交點(diǎn)，并分別畫出它們的圖象．