Question

設(shè)g（n）是（1-3x）ⁿ⁺⁵展開式中所有項的系數(shù)和，關(guān)于x的不等式x²-17•4^k-1x+4^2k≤0（k∈N）
（1）求g（n）；
（2）解關(guān)于x的不等式；
（3）設(shè)f（k）為（2）的解集中的自然數(shù)解的個數(shù)，求f（k）；
（4）記

n

i=1

ai=a1+a2+…+an，求s(n)=

1

5

n

k=1

f(k)-

n

5

+61，并判斷是否存在自然數(shù)n，使得g（n）≥s（n）成立，若存在，求出n的值；若不存在，則說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二項式定理的應(yīng)用

專題：綜合題,二項式定理

分析：（1）令x=1可得，其展開式中所有項的系數(shù)之和為（1-3）ⁿ⁺⁵=（-2）ⁿ⁺⁵；
（2）由于x²-17•4^k-1x+4^2k=（x-4^k-1）（x-4^k+1）≤0，解不等式即可得到答案；
（3）由于f（k）為（2）的解集中的自然數(shù)解的個數(shù)，即可得到f（k）；
（4）g（n）≥s（n）為（-2）ⁿ⁺⁵≥4ⁿ-

n

5

+60，再代入驗證，可得結(jié)論．

解答： 解：（1）由于g（n）是（1-3x）ⁿ⁺⁵展開式中所有項的系數(shù)和，
則令x=1可得，其展開式中所有項的系數(shù)之和為（1-3）ⁿ⁺⁵=（-2）ⁿ⁺⁵，
故g（n）=（-2）ⁿ⁺⁵；
（2）由于x的不等式x²-17•4^k-1x+4^2k=（x-4^k-1）（x-4^k+1）≤0（k∈N）
則不等式x²-17•4^k-1x+4^2k≤0（k∈N）的解為：4^k-1≤x≤4^k+1（k∈N），
（3）由于f（k）為（2）的解集中的自然數(shù)解的個數(shù)，則f（k）=4^k+1-4^k-1+1；
（4）由于f（k）=4^k+1-4^k-1+1=

15

4

•4^k+1，則s(n)=

1

5

n

k=1

f(k)-

n

5

+61=4ⁿ-

n

5

+60，
∴g（n）≥s（n）等價于（-2）ⁿ⁺⁵≥4ⁿ-

n

5

+60，
顯然n只能是奇數(shù)，n=1時，64＞64-

1

5

；n=3時，256＞124-

3

5

；n=5時，1024＜1083，
∴所求n的值為1，3．

點(diǎn)評：本題考查二項式定理，解題的關(guān)鍵是對于二項式性質(zhì)的變形應(yīng)用，然后依次合并同類項，得到最簡結(jié)果．