Question

設(shè)函數(shù)f(x)=-

1

2

cos2x+2acosx-2a+

3

2

的最大值為g（a）．
（1）求g（a）；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a使得g（a）=2若存在求出a及此時(shí)f（x）的最大值，
若不存在說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式化簡f（x）的解析式為-cos²x+2acosx-2a+2，令cosx=t，t∈[-1，1]，可得
f（t）=-t²+2at-2a+2對(duì)稱軸為t=a，分a≤-1時(shí)，-1＜a＜1時(shí)，a≥1時(shí)，利用函數(shù)的單調(diào)性，分別求出g（a）．（2）令 g（a）=2，求出a值，此時(shí)，f（x）=2-cos²x，最大值為3．

解答：解：（1）f(x)=-

1

2

cos2x+2acosx-2a+

3

2

=-cos²x+2acosx-2a+2
令cosx=t，t∈[-1，1]，∴f（t）=-t²+2at-2a+2對(duì)稱軸為t=a，
 當(dāng)a≤-1時(shí)，函數(shù)f（t）在[-1，1]上是減函數(shù)，∴g（a）=f（-1）=-4a+1．
當(dāng)-1＜a＜1時(shí)，g（a）=f（a）=a²-2a+2．
當(dāng)a≥1時(shí)函數(shù)f（t）在[-1，1]上是增函數(shù)，∴g（a）=f（1）=1．
綜上，g（a）=

-4a+1 a≤-1 a2-2a+2 -1＜a＜1 1 a≥1

．
（2）令-4a+1=2，解得 a=-

1

4

，不滿足條件．
令a²-2a+2=2，解得 a=0，或 a=2（舍去）．
故存在 a=0，使得g（a）=2成立．
此時(shí)，f（x）=2-cos²x，最大值為3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二倍角公式，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，分誒討論求出 g（a）是解題的難點(diǎn)．