Question

已知平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，且∠C₁CB=∠C₁CD=∠BCD，試問：當(dāng)

CD

CC1

的值為多少時，A₁C⊥平面C₁BD？并給予證明．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：當(dāng)

CD

CC1

=1時，能使A₁C⊥平面C₁BD，A₁C與C₁O相交于G，說明點G是正三角形C₁BD的中心，證明CG⊥平面C₁BD，即可證明A₁C⊥平面C₁BD．

解答： 解：當(dāng)

CD

CC1

=1時，能使A₁C⊥平面C₁BD．
∵

CD

CC1

=1，
∴BC=CD=C₁C，
又∠BCD=∠C₁CB=∠C₁CD，
由此可推得BD=C₁B=C₁D．
∴三棱錐C-C₁BD是正三棱錐．（3分）
設(shè)A₁C與C₁O相交于G．
∵A₁C₁∥AC，且A₁C₁：OC=2：1，
∴C₁G：GO=2：1．
又C₁O是正三角形C₁BD的BD邊上的高和中線，
∴點G是正三角形C₁BD的中心，
∴CG⊥平面C₁BD，
即A₁C⊥平面C₁BD．（6分）

點評：本小題主要考查直線與直線、直線與平面的關(guān)系，邏輯推理能力，考查空間想象能力，屬于中檔題．