Question

設(shè)點M（-3，2

3

）是拋物線y²=2px（p＞0）準(zhǔn)線上一點，過該拋物線焦點F的直線與它交于A、B兩點，若

FM

•

FA

=0，則△MAB的面積為（　�。�

• A、32

  3

• B、20

  3

• C、24

  3

• D、16

  2

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì),平面向量數(shù)量積的運算

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題意求出拋物線的方程，求出焦點F的坐標(biāo)，由

FM

•

FA

=0得

FM

⊥

FA

，即k_FM•k_AB=-1求出直線AB的斜率和方程，聯(lián)立拋物線方程消去y，由韋達(dá)定理和焦點弦公式求出|AB|，再求出三角形邊AB的高FM，即可求出△MAB的面積．

解答： 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因為點M（-3，2

3

）是拋物線y²=2px（p＞0）準(zhǔn)線上一點，
所以-

p

2

=-3，解得p=6，
則拋物線的方程是y²=12x，焦點F的坐標(biāo)是（3，0），
因為

FM

•

FA

=0，所以

FM

⊥

FA

，則k_FM•k_AB=-1，
由k_FM=

2 3 -0

-3-3

=-

3

3

得，k_AB=

3

，
所以直線AB的方程是y=

3

（x-3），代入y²=12x得，
x²-10x+9=0，則x₁+x₂=10，所以|AB|=x₁+x₂+6=16，
由

FM

⊥

FA

得，F(xiàn)M⊥AB，且FM=

62+(2 3 )2

=4

3

，
所以△MAB的面積S=

1

2

×AB×FM=

1

2

×16×4

3

=32

3

，
故選：A．

點評：本題考查拋物線的方程及性質(zhì)，韋達(dá)定理和焦點弦公式，數(shù)量積的運算等，屬于中檔題．