Question

【題目】已知公差不等于的正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，遞增等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，.

（1）求滿足，的的最小值；

（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由得，兩式作差并結(jié)合題意可得出數(shù)列為等差數(shù)列，且公差為，由此可求得，并設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意可求得的值，可求得，再由可得出，設(shè)，求得數(shù)列的最大值，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的最小值；

（2）由題意可得，利用錯位相減法可求得.

（1）由得，

兩式相減并整理得，

數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，則，，即，

所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，則.

設(shè)等比數(shù)列的公比為，且，

由得，整理得，解得或.

，當(dāng)時，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，不合乎題意，所以，.

則，.

由可得，，令，則.

由，得，即，解得，

，，所以，數(shù)列的最大項(xiàng)為，，

因此，的最小值為；

（2）由（1）知.

所以①

則②

①②得，

因此，.