Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

m

•

n

，其中

m

=（2cosx，1），

n

=（cosx，

3

sin2x），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期與單調(diào)減區(qū)間；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且f（A）=2，求A．

Answer 1

分析：由兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則計(jì)算

m

•

n

，表示出函數(shù)的解析式，第一項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，后兩項(xiàng)提取2，利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的余弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的余弦函數(shù)，
（1）找出ω的值，代入周期公式T=

2π

|ω|

中，即可求出函數(shù)的最小正周期，再由余弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ，2kπ+π]列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集可得出函數(shù)的遞減區(qū)間；
（2）由f（A）=2，將x=A代入得到cos（2A-

π

3

）的值，由A為三角形的內(nèi)角，得到A的范圍，進(jìn)而確定出2A-

π

3

的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)．

解答：解：∵

m

=（2cosx，1），

n

=（cosx，

3

sin2x），
∴f（x）=

m

•

n

=2cos²x+

3

sin2x=1+cos2x+

3

sin2x
=1+2（

1

2

cos2x+

3

2

sin2x）=1+2cos（2x-

π

3

），
（1）∵ω=2，∴T=

2π

2

=π，
令2kπ≤2x-

π

3

≤2kπ+π，k∈Z，解得：kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z，
則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z；
（2）∵f（A）=2，∴1+2cos（2A-

π

3

）=2，
∴cos（2A-

π

3

）=

1

2

，
∵A∈（0，π），∴2A-

π

3

∈（-

π

3

，

5π

3

），
∴2A-

π

3

=

π

3

，
則A=

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有：平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，余弦函數(shù)的單調(diào)性，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵．