Question

3．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+x，a∈R．
（Ⅰ）若f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若a=0，對(duì)任意的x＞0，總有f（x）＜x（e^x+k）成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，分類討論利用f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)的最小值，即可求a的取值范圍；
（Ⅱ）若a=0，對(duì)任意的x＞0，總有f（x）＜x（e^x+k）成立，可得k-1＞x²-e^x，求最值，即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=x³+ax²+x，∴f'（x）=3x²+2ax+1，對(duì)稱軸為x=-$\frac{a}{3}$
∵f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，
∴①-$\frac{a}{3}$＜-1，即a＞3時(shí)，f′（x）_min=f′（-1）≥0，
∴3-2a+1≥0，∴a≤2，不合題意；
②-1≤-$\frac{a}{3}$≤1，即-3≤a≤3時(shí)，f′（x）=0的判別式4a²-12≤0，
∴-$\sqrt{3}$≤a≤$\sqrt{3}$；
③-$\frac{a}{3}$＞1，即a＜-3時(shí)，f′（x）_min=f′-1）＞0，
∴3+2a+1＞0，∴a＞-2，不合題意，
綜上，-$\sqrt{3}$≤a≤$\sqrt{3}$；
（Ⅱ）若a=0，f（x）=x³+x．
由f（x）＜x（e^x+k），可得x³+x＜x（e^x+k），
∵x＞0，
∴k-1＞x²-e^x，
令g（x）=x²-e^x，則g′（x）=2x-e^x，
令h（x）=2x-e^x，則h′（x）=0，可得x=ln2，
∴h（x）在（0，ln2）上單調(diào)遞增，在（ln2，+∞）上單調(diào)遞減，
∴x=ln2時(shí)，h（x）取極大值h（ln2）=2ln2-2＜0
∴g′（x）＜h（ln2）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（x）＜g（0）=-1，
∴k-1≥-1，
∴k≥0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度中等．