Question

已知函數(shù)f（x）=|x-a|+2|x-1|，g（a）=|a-2|+3a+2．
（1）當(dāng)a取使不等式|x-8|+|x-6|≥a恒成立的最大值時(shí)，求不等式f（x）≥2的解集；
（2）若不等式f（3）≤g（a）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求得最大值為2，再由零點(diǎn)分區(qū)間討論，去絕對(duì)值解不等式，最后求并集即可；
（2）運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求得最大值為1，再由一次不等式的解法，即可得到范圍．

解答： 解：（1）由于|x-8|+|x-6|≥|x-8-（x-6）|=2，
則a≤2，即最大值為2，
不等式f（x）≥2即為|x-2|+2|x-1|≥2，
當(dāng)x≤1時(shí)，2-x+2（1-x）≥2解得x≤

2

3

，則有x≤

2

3

；
當(dāng)1＜x＜2時(shí)，2-x+2x-2≥2解得x≥2，則x∈∅；
當(dāng)x≥2時(shí)，x-2+2x-2≥2，解得x≥2，則有x≥2．
綜上可得，解集為{x|xx≤

2

3

或x≥2}；
（2）不等式f（3）≤g（a）恒成立即為
|a-3|-|a-2|≤3a-2恒成立，
由于||a-3|-|a-2||≤|a-3-（a-2）|=1，
則有3a-2≥1，解得a≥1．
即有實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，考查絕對(duì)值不等式的解法，考查不等式恒成立問(wèn)題，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．