如圖：在四棱錐中，底面是正方形，，，點(diǎn)在上，且.

（1）求證：平面；   
（2）求二面角的余弦值；
（3）證明：在線段上存在點(diǎn)，使∥平面，并求的長(zhǎng).

（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析．．

解析試題分析：（1）要證線面垂直，就是要證與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，如，雖然題中沒有給出多少垂直關(guān)系，但有線段的長(zhǎng)度，實(shí)際上在中應(yīng)用勾股定理就能證明，同理可證，于是可得平面；（2）由于在（1）已經(jīng)證明了兩兩垂直，因此解決下面的問題我們可以通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法解題.以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，，，，，，，這樣我們只要求出平面和平面的法向量，利用法向量的夾角與二面角相等可互補(bǔ)可得所求二面角大�。唬�3）線段上的點(diǎn)的坐標(biāo)可寫為，這樣若有平面，即與（2）中所求平面的法向量垂直，由此可出，若，說明在線段上存在符合題意的點(diǎn)，否則就是不存在.
試題解析：（1）證明：，，
，同理      2分
又，平面.     4分
（2）以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則       6分
平面的法向量為，
設(shè)平面的法向量為                 7分
，由，，取 ，  8分
設(shè)二面角的平面角為
，二面角的余弦值為.     10分
（3）假設(shè)存在點(diǎn)，使∥平面，
令

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，，，是正三角形，平面平面．
（1）求證：；
（2）求三棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，直四棱柱中，，，，，，E為CD上一點(diǎn)，，

（1）證明：BE⊥平面；
（2）求點(diǎn)到平面的距離。

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如圖，已知四棱錐，底面為菱形，
平面，，分別是的中點(diǎn)．
（1）證明：；
（2）若為上的動(dòng)點(diǎn)，與平面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值．

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如圖，三棱柱是直棱柱，.點(diǎn)分別為和的中點(diǎn).

（1）求證：平面;
（2）求點(diǎn)到平面的距離.

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如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD．

（1）求證：AB∥EF；
（2）求證：平面BCF⊥平面CDEF．

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如圖，正方體中，已知為棱上的動(dòng)點(diǎn).

（1）求證：；
（2）當(dāng)為棱的中點(diǎn)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.

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如圖在四棱錐中，底面是菱形，，平面平面，，為的中點(diǎn)，是棱上一點(diǎn)，且.

（1）求證：平面；
（2）證明：∥平面；
（3）求二面角的度數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖,幾何體EABCD是四棱錐,△ABD為正三角形,CB=CD,EC⊥BD.

(1)求證:BE=DE;
(2)若∠BCD=120°,M為線段AE的中點(diǎn),求證:DM∥平面BEC.

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