【題目】如圖所示,正方體ABCD﹣A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為1,E、F分別是棱是AA′,CC′的中點(diǎn),過直線EF的平面分別與棱BB′,DD′交于M,N,設(shè)BM=x,x∈[0,1],給出以下四種說法:
(1)平面MENF⊥平面BDD′B′;
(2)當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí),四邊形MENF的面積最。
(3)四邊形MENF周長(zhǎng)L=f(x),x∈[0,1]是單調(diào)函數(shù);
(4)四棱錐C′﹣MENF的體積V=h(x)為常函數(shù),以上說法中正確的為(。
A. (2)(3) B. (1)(3)(4) C. (1)(2)(4) D. (1)(2)
【答案】C
【解析】
(1)利用面面垂直的判定定理去證明EF⊥平面BDD′B′;(2)四邊形MENF的對(duì)角線EF是固定的,所以要使面積最小,則只需MN的長(zhǎng)度最小即可;(3)判斷周長(zhǎng)的變化情況;(4)求出四棱錐的體積,進(jìn)行判斷.
(1)連結(jié)BD,B′D′,則由正方體的性質(zhì)可知,EF⊥平面BDD′B′,所以平面MENF⊥平面BDD′B′,所以正確;
(2)連結(jié)MN,因?yàn)?/span>EF⊥平面BDD′B′,所以EF⊥MN,四邊形MENF的對(duì)角線EF是固定的,所以要使面積最小,則只需MN的長(zhǎng)度最小即可,此時(shí)當(dāng)M為棱的中點(diǎn)時(shí),即x時(shí),此時(shí)MN長(zhǎng)度最小,對(duì)應(yīng)四邊形MENF的面積最。哉_;
(3)因?yàn)?/span>EF⊥MN,所以四邊形MENF是菱形.當(dāng)x∈[0,]時(shí),EM的長(zhǎng)度由大變。(dāng)x∈[,1]時(shí),EM的長(zhǎng)度由小變大.所以函數(shù)L=f(x)不單調(diào).所以錯(cuò)誤;
(4)連結(jié)C′E,C′M,C′N,則四棱錐則分割為兩個(gè)小三棱錐,它們以C′EF為底,以M,N分別為頂點(diǎn)的兩個(gè)小棱錐.因?yàn)槿切?/span>C′EF的面積是個(gè)常數(shù).M,N到平面C'EF的距離是個(gè)常數(shù),所以四棱錐C'﹣MENF的體積V=h(x)為常函數(shù),所以正確.
故選:C.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,為平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn),M,N分別為AB,PC的中點(diǎn),平面PAD平面PBC=.
(1)求證:BC∥;
(2)MN與平面PAD是否平行?試證明你的結(jié)論.
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【題目】已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , a1=a.當(dāng)n≥2時(shí),Sn2=3n2an+Sn﹣12 , an≠0,n∈N* .
(1)求a的值;
(2)設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn , 且cn=3n﹣1+a5 , 求使不等式4Tn>Sn成立的最小正整數(shù)n的值.
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【題目】已知點(diǎn)在橢圓上,直線與x,y軸分別交于A,B兩點(diǎn),0為坐標(biāo)原點(diǎn),且△OAB 的面積的最小值為
(1)求橢圓的離心率;
(2) 設(shè)點(diǎn)C、D、F2分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)以及右焦點(diǎn),E 為線段OD 的中點(diǎn),直線F2E 與橢圓 相交于M、N 兩點(diǎn),若,求橢圓的方程.
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【題目】若向量 ,其中ω>0,記函數(shù) ,若函數(shù)f(x)的圖象與直線y=m(m為常數(shù))相切,并且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次成公差為π的等差數(shù)列.
(1)求f(x)的表達(dá)式及m的值;
(2)將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移 ,得到y(tǒng)=g(x)的圖象,當(dāng) 時(shí),y=g(x)與y=cosα的交點(diǎn)橫坐標(biāo)成等比數(shù)列,求鈍角α的值.
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【題目】已知函數(shù)為奇函數(shù), 為常數(shù).
(1)確定的值;
(2)求證: 是上的增函數(shù);
(3)若對(duì)于區(qū)間上的每一個(gè)值,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià),將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷,得到如下數(shù)據(jù):
單價(jià)x(元) | 8 | 8.2 | 8.4 | 8.6 | 8.8 | 9 |
銷量y(件) | 90 | 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
(1)求回歸直線方程=bx+a,其中b=-20,a=-b
(2)預(yù)計(jì)在今后的銷售中,銷量與單價(jià)仍然服從(1)中的關(guān)系,且該產(chǎn)品的成本是4元/件,為使工廠獲得最大利潤(rùn),該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元?(利潤(rùn)=銷售收入—成本)
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【題目】根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,某型號(hào)的空氣凈化器有如下的統(tǒng)計(jì)規(guī)律,每生產(chǎn)該型號(hào)空氣凈化器(百臺(tái)),其總成本為(萬元),其中固定成本為12萬元,并且每生產(chǎn)1百臺(tái)的生產(chǎn)成本為10萬元(總成本=固定成本+生產(chǎn)成本),銷售收入(萬元)滿足,假定該產(chǎn)品銷售平衡(即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉),根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律,請(qǐng)完成下列問題:
(Ⅰ)求利潤(rùn)函數(shù)的解析式(利潤(rùn)=銷售收入-總成本);
(Ⅱ)假定你是工廠老板,你該如何決定該產(chǎn)品生產(chǎn)的數(shù)量?
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【題目】如圖,AB是圓O的直徑,弦CD⊥AB于點(diǎn)M,點(diǎn)E是CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn),AB=10,CD=8,3ED=4OM,EF切圓O于F,BF交CD于點(diǎn)G.
(1)求證:EF=EG;
(2)求線段MG的長(zhǎng).
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