Question

（2007•武漢模擬）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為AD中點(diǎn)，
（1）求二面角E-A₁C₁-D₁的平面角的余弦值；
（2）求四面體B-A₁C₁E的體積．
（3）（文） 求E點(diǎn)到平面A₁C₁B的距離
（4）（文）求二面角B-A₁C₁-B₁的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）先作出二面角E-A₁C₁-D₁的平面角：在A₁D₁上取中點(diǎn)F．連接EF過(guò)F作FM⊥A₁C₁于A₁C₁上一點(diǎn)M，連接EM，則∠EMF為二面角E-A₁C₁-D₁的平面角．再在△A₁C₁D₁中，可求；
（2）求四面體B-A₁C₁E的體積，可以轉(zhuǎn)換底面，求V_C1-A1BN，即可；
（3）將E到平面BA₁C₁的距離轉(zhuǎn)化為M點(diǎn)到平面BA₁C₁的距離，再在△MHB中可求；
（4）先利用三垂線定理確定二面角的平面角，再在△BO₁B₁中求解．

解答：解：（1）在邊長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，E為AD中點(diǎn)，在A₁D₁上取中點(diǎn)F．連接EF過(guò)F作FM⊥A₁C₁于A₁C₁上一點(diǎn)M，連接EM，則∠EMF為二面角E-A₁C₁-D₁的平面角．
在△A₁C₁D₁中，F(xiàn)M=

1

4

B₁D₁=

2

4

，又EF⊥FM，EF=1
∴tan∠EMF=

1

2 4

=2

2

，從而cos∠EMF=

1

3

．
∴二面角E-A₁C₁-D₁的余弦值為

1

3

（2）在平面ABCD內(nèi)，延長(zhǎng)BA到N點(diǎn)，使AN=

1

2

，故NE∥A₁C₁，∴NE∥面BA₁C₁
∴V_B-A1C1E=V_E-A1BC1=V_N-A1C1E=V_C1-A1BN
=

1

3

•（

1

2

•

3

2

•1）•1=

1

4

（3）（文）取DC中點(diǎn)F，連接EF交BD于M點(diǎn)，又E為AD中點(diǎn)，故可知EF∥A₁C₁，則EF∥面BA₁C₁，
因此E到平面BA₁C₁的距離就是M點(diǎn)到平面BA₁C₁的距離．
在對(duì)角面BA₁D₁D內(nèi)，過(guò)M作MH⊥O₁B交OB1于H，
∵A₁C₁⊥面BB₁D₁D，則面BD₁⊥面BA₁C₁而MH⊥O₁B，則MH⊥面BA₁C₁，
又∵sin∠DBO₁=

2

3

 故在△MHB中，MH=BM•sin∠DBO₁=

3 2

4

•

2

3

=

3

2

故E到平面BA₁C₁之距離為

3

2

（4）

在邊長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁連B₁D₁，則B₁D₁⊥A₁C₁，設(shè)其交點(diǎn)為O₁，連O₁B．
則由三垂線定理可知O₁B⊥A₁C₁
∴∠BO₁B₁為二面角B-A₁C₁-B₁的平面角．
又BB₁=1，O₁B=

2

2

，∴tan∠BO₁B₁=

2

，從而cos∠BO₁B₁=

1

3

=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是與二面角有關(guān)的立體幾何綜合問(wèn)題，主要考查二面角的求法，考查幾何體的體積，關(guān)鍵是作（找）二面角的平面角．