Question

給出定義：若x∈〔m-

1

2

，m+

1

2

]，（m∈z），則m叫做實(shí)數(shù)x的“親密函數(shù)”，記作{x}=m，在此基礎(chǔ)上給出下列 函數(shù)f（x）=|x-{x}|的四個命題：
①函數(shù)y=f（x）在x∈（0，1）上是增函數(shù)；②函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)，最小正周期為1；
③函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

k

2

（k∈Z）對稱；
④當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）-ln x有兩個零點(diǎn)
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：根據(jù)題意先對函數(shù)化簡，然后作出函數(shù)的圖象，根據(jù)函數(shù)的圖象可判斷各個選項(xiàng)是否正確．

解答： 解：①當(dāng)x∈（-

1

2

，

1

2

]時(shí)，f（x）=|x-{x}|=|x-0|，
當(dāng)x∈(

1

2

，

3

2

]時(shí)，f（x）=|x-{x}|=|x-1|，
當(dāng)x∈(

3

2

，

5

2

]時(shí)，f（x）=|x-{x}|=|x-2|，
…
作出函數(shù)的圖象如右圖：
由圖可知：①錯，②，③對，
再作出y=ln x的圖象可判斷x∈（0，2]時(shí)有兩個交點(diǎn)，④對
故答案為：②③④．

點(diǎn)評：本題為新定義題目，解題的關(guān)鍵是讀懂定義內(nèi)涵，嘗試探究解決，屬難題，考查由函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，作圖及識圖能力、數(shù)形結(jié)合思想．