Question

設f（x）=2x³+3x²+bx+1的導數(shù)為f′（x），且f′（1）=0．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，3]上的最值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)解析式的求解及常用方法,導數(shù)的運算

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導數(shù)，利用f′（1）=0，求出b，可得函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求出函數(shù)在該區(qū)間上的極值，函數(shù)在端點處的函數(shù)值，即可求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，3]上的最值．

解答： 解：（Ⅰ）因f（x）=2x³+3x²+bx+1，
故f′（x）=6x²+6x+b．
又由于f′（1）=0，即6+6+b=0，解得b=-12．
所以f（x）=2x³+3x²-12x+1…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x³+3x²-12x+1（x∈[-3，3]），
f′（x）=6x²+6x-12=6（x-1）（x+2）（x∈[-3，3]）．
令f′（x）=0，即6（x-1）（x+2）=0，
解得x₁=-2，x₂=1．
當x∈（-3，-2）時，f′（x）＞0，
故f（x）在（-3，-2）上為增函數(shù)；
當x∈（-2，1）時，f′（x）＜0，
故f（x）在（-2，1）上為減函數(shù)；
當x∈（1，3）時，f′（x）＞0，
故f（x）在（1，3）上為增函數(shù)．
從而函數(shù)f（x）在[-3，-2]、[1，3]上單調(diào)遞增，在[-2，1]上單調(diào)遞減，
又f（-3）=10，f（-2）=21，f（1）=-6，f（3）=46
所以f（x）_max=f（3）=46，f（x）_min=f（1）=-6…（12分）

點評：本題考查應用導數(shù)求函數(shù)最值，連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上必存在最大值、最小值，只需求出極值、端點值進行比較即可．