Question

【題目】(2015·新課標(biāo)I卷）已知函數(shù)f（x）=x3+ax+, g(x)=-lnx.
（1）當(dāng)a為何值時(shí)，x軸為曲線y=f(x)的切線；
（2）用min{m,n} 表示m,n中的最小值，設(shè)函數(shù)h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),，討論h（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】
（1）

a=-

（2）

當(dāng)a>-或a<-時(shí)，h（x）由一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a=-或a=-時(shí)，h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)-<a<-時(shí)，h（x）有三個(gè)零點(diǎn).

【解析】（Ⅰ）設(shè)曲線y=f(x)與x軸相切于點(diǎn)(x0, 0)，則f(x0)=0，f'(x0)=0，即，解得x0=,a=-.
因此，當(dāng)a=-時(shí)，x軸是曲線y=f(x)的切線.
(II)當(dāng)x,g(x)=-lnx<0, 從而h（x）=min{f(x),g(x)}g(x)<0, ∴h(x)在無零點(diǎn)。當(dāng)x=1時(shí)，若a,則f(1)=a+<0, h(1)=min{f(1),g(1)}=f(1)<0, 故x=1不是h(x)的零點(diǎn)。
當(dāng)x(0,1)時(shí)，g(x)=-lnx>0, 所以只需考慮f(x)在（0,1）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。
（i)若a-3或a0, 則f'（x)=3x2+a在（0,1）無零點(diǎn)，故f(x)在（0,1）單調(diào)，而f(0)=,f(1)=a+, 所以當(dāng)a-3時(shí)，f(x)在（0,1）有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)a0時(shí)，f(x)在（0,1）無零點(diǎn)，
（ii) 若-3<a<0, 則f(x)在（0，)單調(diào)遞減，在（，1）單調(diào)遞增，故當(dāng)x=時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f()=+.
1. 若f()>0, 即-<a<0, f(x)在（0,1）無零點(diǎn)。
2， 若f()=0, 即a=- f(x)在（0,1）有唯一零點(diǎn)。
3， 若f()<0, 即-3<a<-,由于f(0)=,f(1)=a+,所以當(dāng)-<a<-時(shí)，f(x)在（0,1）有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)-3<a-時(shí)，f(x)在（0,1）有一個(gè)零點(diǎn)。
綜上，當(dāng)a>-或a<-時(shí)，h(x)由一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)a=-或a=-時(shí)，h(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)-<a<-時(shí)，h(x)有三個(gè)零點(diǎn)。