已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
3
=1(a＞
3
)的離心率e=
1
2
．直線x=t（t＞0）與曲線E交于不同的兩點(diǎn)M，N，以線段MN為直徑作圓C，圓心為C．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若圓C與y軸相交于不同的兩點(diǎn)A，B，且△ABC的面積為
5
2
，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
分析：（1）由橢圓 E：
x2
a2
+
y2
3
=1(a＞
3
)的離心率 e=
1
2
，知
a2-3
a
=
1
2
．由此能求出橢圓E的方程．（2）依題意，圓心為C（t，0），（0＜t＜2）．由
x=t
x2
4
+
y2
3
=1l
得y2=
12-3t2
4
．所以圓C的半徑為r=
12-3t2
2
．由圓C與y軸相交于不同的兩點(diǎn)A，B，且圓心C到y(tǒng)軸的距離d=t，知0＜t＜
12-3t2
2
，即0＜t＜
2
21
7
，所以弦長(zhǎng)|AB|=2
r2-d2
=2
12-3t2
4
-t2
=
12-7t2
由此能求出ABC的面積的最大值．
解答：解：（1）∵橢圓E：
x2
a2
+
y2
3
=1(a＞
3
)的離心率e=
1
2
，∴
a2-3
a
=
1
2
．解得a=2．
∴橢圓E的方程為
x2
4
+
y2
3
=1．．…（4分）
（2）依題意，圓心為C（t，0），（0＜t＜2）．
由
x=t
x2
4
+
y2
3
=1l
得y2=
12-3t2
4
．∴圓C的半徑為r=
12-3t2
2
．
∵圓C與y軸相交于不同的兩點(diǎn)A，B，且圓心C到y(tǒng)軸的距離d=t，
∴0＜t＜
12-3t2
2
，即0＜t＜
2
21
7
．
∴弦長(zhǎng)|AB|=2
r2-d2
=2
12-3t2
4
-t2
=
12-7t2
．
∴△ABC的面積S=
1
2
•t
12-7t2
=
5
2
．∴t=1或
5
7

∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=
9
4
或(x-
5
7
)2+y2=
69
28
． …（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程和三角形的面積的最大值，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），焦點(diǎn)為F1、F2，雙曲線G：x2-y2=m（m＞0）的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P是雙曲線G上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF1、PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D，已知三角形ABF2的周長(zhǎng)等于8
2
，橢圓四個(gè)頂點(diǎn)組成的菱形的面積為8
2
．
（1）求橢圓E與雙曲線G的方程；
（2）設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1和k2，探求k1和k2的關(guān)系；
（3）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，試求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），以F1（-c，0）為圓心，以a-c為半徑作圓F1，過(guò)點(diǎn)B2（0，b）作圓F1的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為M、N．
（1）若過(guò)兩個(gè)切點(diǎn)M、N的直線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B1（0，-b）時(shí)，求此橢圓的離心率；
（2）若直線MN的斜率為-1，且原點(diǎn)到直線MN的距離為4（
2
-1），求此時(shí)的橢圓方程；
（3）是否存在橢圓E，使得直線MN的斜率k在區(qū)間（-
2
2
，-
3
3
）內(nèi)取值？若存在，求出橢圓E的離心率e的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
3
=1（a＞
3
）的離心率e=
1
2
．直線x=t（t＞0）與曲線 E交于不同的兩點(diǎn)M，N，以線段MN 為直徑作圓 C，圓心為 C．
 （1）求橢圓E的方程；
 （2）若圓C與y軸相交于不同的兩點(diǎn)A，B，求△ABC的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•佛山二模）已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個(gè)交點(diǎn)為F1(-
3
，0)，而且過(guò)點(diǎn)H(
3
，
1
2
)．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓E的上下頂點(diǎn)分別為A1，A2，P是橢圓上異于A1，A2的任一點(diǎn)，直線PA1，PA2分別交x軸于點(diǎn)N，M，若直線OT與過(guò)點(diǎn)M，N的圓G相切，切點(diǎn)為T．證明：線段OT的長(zhǎng)為定值，并求出該定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的離心率e=
3
2
，直線x=2t（t＞0）與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)M、N，以線段MN為直徑作圓C，圓心為C
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）當(dāng)圓C與y軸相切的時(shí)候，求t的值；
（Ⅲ）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OMN面積的最大值．

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