Question

已知函數(shù)在處取得極值.

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）證明:對(duì)任意的正整數(shù),不等式…都成立.

 

Answer 1

（1）（2）；（3）見解析

【解析】

試題分析：（1）函數(shù)，對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，在處取得極值，可得，求得值；（2）關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，將問題轉(zhuǎn)化為，在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，對(duì)對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，從而求出的范圍；

（3）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022506030685328516/SYS201502250603150410295067_DA/SYS201502250603150410295067_DA.014.png">，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，可以推出，令，可以得到，利用此不等式進(jìn)行放縮證明；

試題解析：（1） ， 時(shí), 取得極值,

故，解得

經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.

（2）由知 由,得

令則在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.

當(dāng)時(shí), ,于是在上單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí), ,于是在上單調(diào)遞減.

依題意有 解得

（3） 的定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022506030685328516/SYS201502250603150410295067_DA/SYS201502250603150410295067_DA.038.png">,由（1）知,

令得,或 （舍去）, 當(dāng)時(shí), ,單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí), ,單調(diào)遞減.為在上的最大值.

,故 （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立）

對(duì)任意正整數(shù),取得, ,

故……

（方法二）數(shù)學(xué)歸納法證明：

當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，顯然，不等式成立.

假設(shè)時(shí)，…成立，

則時(shí)，有….作差比較：

構(gòu)建函數(shù)，則，在

單調(diào)遞減，.

取，

即，亦即，

故時(shí)，有…，

不等式成立.

綜上可知，對(duì)任意的正整數(shù),不等式…都成立

考點(diǎn)：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.