【題目】已知動直線與橢圓交于、兩個不同點，且的面積，其中為坐標原點．

（1）證明和均為定值；

（2）設線段的中點為，求的最大值；

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）對直線的斜率是否存在進行分類討論，在直線的斜率不存在時，可得出，，根據(jù)的面積求得、的值，可得出和的值；在直線的斜率存在時，設直線的方程為，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用三角形的面積公式可求得和的值，進而得出結(jié)論；

（2）對直線的斜率是否存在進行分類討論，在直線的斜率不存在時，可直接求得的值；在直線的斜率存在時，求得、關于的表達式，利用基本不等式可求得的最大值，進而可得出結(jié)論.

（1）當直線的斜率不存在時，、兩點關于軸對稱，所以，，

在橢圓上，①，又，②

由①②得，．此時，；

當直線的斜率存在時，是直線的方程為，

將直線的方程代入得，

，即，

由韋達定理得，，

，

點O到直線的距離為，

，

又，整理得，

此時，

，

綜上所述，，結(jié)論成立；

（2）當直線的斜率不存在時，由（1）知，，因此；

當直線的斜率存在時，由（1）知，，

，

，

所以，．

當且僅當，即時，等號成立．

綜上所述，的最大值為.

練習冊系列答案
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【題目】設a＞0，0≤x＜2π，若函數(shù)y=cos2x-asinx+b的最大值為0，最小值為-4，試求a與b的值，并求使y取得最大值和最小值時的x值．

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該休檢中心從所有會員中隨機選取了100位對他們在本中心參加體檢的次數(shù)進行統(tǒng)計，得到數(shù)據(jù)如表：

假設該體檢中心為顧客體檢一次的成本費用為150元，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，解答下列問題：

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（2）該體檢中心要從這100人里至少體檢3次的會員中，按體檢次數(shù)用分層抽樣的方法抽出5人，再從這5人中抽取2人，每人發(fā)放現(xiàn)金200元.用5表示體檢3次的會員所得現(xiàn)金和，求的分布列及.

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【題目】原始的蚊香出現(xiàn)在宋代.根據(jù)宋代冒蘇軾之名編寫的《格物粗談》記載：“端午時，貯浮萍，陰干，加雄黃，作紙纏香，燒之，能祛蚊蟲.”如圖，為某校數(shù)學興趣小組用數(shù)學軟件制作的“螺旋蚊香”，畫法如下:在水平直線上取長度為1的線段，做一個等邊三角形，然后以點為圓心，為半徑逆時針畫圓弧，交線段的延長線于點，再以點為圓心，為半徑逆時針畫圓弧，交線段的延長線于點，以此類推，當?shù)玫降?/span>“螺旋蚊香”與直線恰有個交點時，“螺旋蚊香”的總長度的最小值為（ ）

A.B.C.D.

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【題目】在平面直角坐標系中，P為直線：上的動點，動點Q滿足，且原點O在以為直徑的圓上.記動點Q的軌跡為曲線C

（1）求曲線C的方程：

（2）過點的直線與曲線C交于A，B兩點，點D（異于A，B）在C上，直線，分別與x軸交于點M，N，且，求面積的最小值.

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【題目】已知函數(shù).

（1）若是函數(shù)的極值點，求a的值；

（2）令，若對任意，有恒成立，求a的取值范圍；

（3）設m，n為實數(shù)，且，求證：.

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A.64B.72C.96D.144

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【題目】《高中數(shù)學課程標準》（2017版）規(guī)定了數(shù)學直觀想象學科的六大核心素養(yǎng)，為了比較甲、乙兩名高二學生的數(shù)學核心素養(yǎng)水平，現(xiàn)以六大素養(yǎng)為指標對二人進行了測驗，根據(jù)測驗結(jié)果繪制了雷達圖（如圖，每項指標值滿分為5分，分值高者為優(yōu)），則下面敘述正確的是（注：雷達圖，又可稱為戴布拉圖、蜘蛛網(wǎng)圖，可用于對研究對象的多維分析）（ ）

A.甲的直觀想象素養(yǎng)高于乙

B.甲的數(shù)學建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)

C.乙的數(shù)學建模素養(yǎng)與數(shù)學運算素養(yǎng)一樣

D.乙的六大素養(yǎng)整體水平低于甲

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