Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求a的值；

（2）令，若對任意，有恒成立，求a的取值范圍；

（3）設(shè)m，n為實(shí)數(shù)，且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析.

【解析】

（1）先求出，令后可得的值，注意檢驗(yàn).

（2）參變分離后可得對任意的恒成立，利用導(dǎo)數(shù)可得的最小值，從而可得的取值范圍.

（3）原不等式等價(jià)于且，可通過構(gòu)建新函數(shù)及，再利用導(dǎo)數(shù)可證當(dāng)時(shí)，，從而可得原不等式成立.

（1），

因?yàn)?/span>是函數(shù)的極值點(diǎn)，故即，

又當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

故是函數(shù)的極小值點(diǎn)，

綜上，.

（2），故對任意的恒成立等價(jià)于：

對任意的恒成立.

令，，

則，

令，則，

當(dāng)時(shí)，，故為上的單調(diào)增函數(shù)，

所以，

故時(shí)，，故為上的單調(diào)增函數(shù)，

所以，故.

（3）要證，因?yàn)?/span>，

故即證且，

即證且.

令，，則.

因?yàn)?/span>，，所以即，

所以為上的增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，有.

令，則，故即.

令，，

則，故，

當(dāng)時(shí)，，故為上的增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，有，

所以為上的增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，有，

令，則有，

也就是.

綜上，原不等式恒成立.