Question

已知

OP

=(2，1)，

OA

=(1，7)，

OB

=(5，1)，設(shè)C是直線OP上的一點(diǎn)（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）
（1）求使

CA

•

CB

取到最小值時的

OC

；
（2）根據(jù)（1）中求出的點(diǎn)C，求cos∠ACB．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)C(x，

1

2

x)，從而將

CA

•

CB

數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出來，可得一個關(guān)于x的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得答案；
（2）根據(jù)（1）中的點(diǎn)C，可以求得

CA

，

CB

的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積即可求得cos∠ACB的值．

解答：解：（1）∵

OP

=(2，1)，則直線OP的方程為y=

1

2

x，
∵C是直線OP上的一點(diǎn)，則設(shè)點(diǎn)C(x，

1

2

x)，
∴

CA

=

OA

-

OC

=(1-x，7-

1

2

x)，

CB

=

OB

-

OC

=(5-x，1-

1

2

x)，
∴

CA

•

CB

=（1-x）（5-x）+（7-

1

2

x）（1-

1

2

x）
=

5

4

x2-10x+12
=

5

4

(x-4)2-8，
∴當(dāng)x=4時，

CA

•

CB

取到最小值，此時C（4，2），
∴

OC

=(4，2)；
（2）由（1）可知，C（4，2），
∴

CA

=(-3，5)，

CB

=(1，-1)，
∴cos∠ACB=

CA • CB

|CA |•| CB |

=

-3-5

(-3)2+52 12+(-1)2

=-

4 17

17

，
故cos∠ACB=-

4 17

17

．

點(diǎn)評：本題考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了根據(jù)向量的數(shù)量積求解向量的夾角．根據(jù)數(shù)量積的定義可以求解兩個向量的夾角，注意兩個向量的夾角要共起點(diǎn)所形成的角，熟悉向量夾角的取值范圍為[0，π]，其中夾角為0時，兩向量同向，夾角為π時，兩向量反向．屬于中檔題．