Question

由函數(shù)y=f(x)確定數(shù)列{a_n},a_n=f(n),若函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)y=f^-1(x)能確定數(shù)列{b_n},b_n=f^-1(n),則稱數(shù)列{b_n}是數(shù)列{a_n}的“反數(shù)列”.

(1)已知函數(shù)f(x)=2的反函數(shù)為f^-1(x)=(x≥0),則由函數(shù)f(x)=2確定的數(shù)列{a_n}的反數(shù)列為{b_n},求{b_n}的通項公式;不等式++…+≥1-2a對任意的正整數(shù)n恒成立,求實數(shù)a的范圍;

(2)設(shè)函數(shù)y=3^x確定的數(shù)列為{c_n},{c_n}的反數(shù)列為{d_n},{c_n}與{d_n}的公共項組成的數(shù)列為{t_n},求數(shù)列{t_n}的前n項和S_n.

Answer 1

解:(1)f(x)=2(x≥0)a_n=2(n為正整數(shù)),f^-1(x)=(x≥0).

∴數(shù)列{a_n}的反數(shù)列為{b_n}的通項b_n=(n為正整數(shù)).

∵++…+=4［++…+］=4(1),

∴{1}單調(diào)遞增.∴當n=1時,{1}的最小值為.

∵1-2a≤2,∴a≥.∴使不等式對于任意正整數(shù)n恒成立的a的取值范圍是［,+∞).

(2)設(shè)公共項t_k=c_p=d_q(k、p、q為正整數(shù)),c_n=3ⁿ,d_n=log₃n.

∴3^p=log₃q,則q=.11分有{c_n}{d_n},t_n=3ⁿ.

∴{t_n}的前n項和S_n=(3ⁿ-1).