以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸非負(fù)半軸為極軸,在兩種坐標(biāo)系中取相同單位的長度.已知直線l的方程為
ρcosθ-ρsinθ-1=0(ρ>0),曲線C的參數(shù)方程為
x=2cosα
y=2+2sinα
(α為參數(shù)),點(diǎn)M是曲線C上的一動(dòng)點(diǎn).
(Ⅰ)求線段OM的中點(diǎn)P的軌跡方程;
(Ⅱ)求曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值.
考點(diǎn):簡單曲線的極坐標(biāo)方程
專題:坐標(biāo)系和參數(shù)方程
分析:(Ⅰ)設(shè)中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),依據(jù)中點(diǎn)公式求得線段OM的中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程,再把它化為直角坐標(biāo)方程.
(Ⅱ)求得直線l的普通方程和曲線C的普通方程,可得曲線C表示以(0,2)為圓心,以2為半徑的圓,故所求最小值為圓心(0,2)到直線l的距離減去半徑,計(jì)算求得結(jié)果.
解答: 解:(Ⅰ)設(shè)中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),依據(jù)中點(diǎn)公式有
x=cosα
y=1+sinα
(α為參數(shù)),
這是點(diǎn)P軌跡的參數(shù)方程,消參得點(diǎn)P的直角坐標(biāo)方程為x2+(y-1)2=1.
(Ⅱ)直線l的普通方程為x-y-1=0,曲線C的普通方程為x2+(y-2)2=4
表示以(0,2)為圓心,以2為半徑的圓,
故所求最小值為圓心(0,2)到直線l的距離減去半徑,
設(shè)所求最小距離為d,則d=
|0-2-1|
2
-2=
3
2
2
-2.
因此曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值為
3
2
2
-2.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法,點(diǎn)到直線的距離公式、直線和圓的位置關(guān)系,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)變量x,y滿足約束條件
3x+y-6≥0
x-y-2≤0
y-3≤0
,且目標(biāo)函數(shù)z=y+ax的最小值為-7,則a的值為( 。
A、-2B、-4C、-1D、1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線C:x2=2py過點(diǎn)P(1,
1
2
)
,直線l交C于A,B兩點(diǎn),過點(diǎn)P且平行于y軸的直線分別與直線l和x軸相交于點(diǎn)M,N.
(1)求p的值;
(2)是否存在定點(diǎn)Q,當(dāng)直線l過點(diǎn)Q時(shí),△PAM與△PBN的面積相等?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的右焦點(diǎn)F(1,0),右頂點(diǎn)A,且|AF|=1.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若動(dòng)直線l:y=kx+m與橢圓C有且只有一個(gè)交點(diǎn)P,且與直線x=4交于點(diǎn)Q,問:是否存在一個(gè)定點(diǎn)M(t,0),使得
MP
MQ
=0
.若存在,求出點(diǎn)M坐標(biāo);若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊長分別為a,b,c,且cos
A+C
2
=
1
2

(1)若a=3,b=
7
,求c的值;
(2)若f(A)=sinA(
3
cosA-sinA),求f(A)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知直線l:x=my+1過橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1 
(a>b>0)的右焦點(diǎn)F,拋物線:x2=4
2
y的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn),且直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若直線l交y軸于點(diǎn)M,且
MA
=λ1
AF
MB
=λ2
BF
.試判斷λ12的值是否為定值,若是求出定值,不是說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2cos2x+2
3
sinxcosx(x∈R).
(Ⅰ)當(dāng)x∈[0,
π
2
]時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)應(yīng)邊分別為a,b,c,且c=3,f(C)=2,若向量
m
=(1,sinA)與向量
n
=(2,sinB)共線,求a,b的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),A、B分別是橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn),M、N是橢圓上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn),直線AM,BN的斜率分別為k1,k2,若|k1•k2|=
1
4
,則橢圓的離心率為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若函數(shù)f(x)=x2+(a-2)x+6在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù),那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。
A、a≥0B、a≤0
C、a≥4D、a≤4

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案