已知函數(shù)f(x)=2cos2x+2
3
sinxcosx(x∈R).
(Ⅰ)當x∈[0,
π
2
]時,求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間;
(Ⅱ)設△ABC的內(nèi)角A,B,C的對應邊分別為a,b,c,且c=3,f(C)=2,若向量
m
=(1,sinA)與向量
n
=(2,sinB)共線,求a,b的值.
考點:正弦定理,平面向量共線(平行)的坐標表示,平面向量數(shù)量積的運算
專題:解三角形
分析:(I)利用三角函數(shù)的恒等變換化簡f(x)的解析式為2sin(2x+
π
6
)+1
.令-
π
2
+2kπ≤2x+
π
6
π
2
+2kπ
,k∈z,求得x的范圍,結合x∈[0,
π
2
]
,可得f(x)的遞增區(qū)間.
(Ⅱ)由f(C)=2,求得sin(2C+
π
6
)=
1
2
,結合C的范圍求得C的值.根據(jù)向量
m
=(1,sinA)與向量
n
=(2,sinB)共線,可得
sinA
sinB
=
1
2
,故有
a
b
=
1
2
 ①,再由余弦定理得9=a2+b2-ab ②,由①②求得a、b的值.
解答: 解:(I)∵f(x)=2cos2x+
3
sin2x
=cos2x+
3
sin2x+1
=2sin(2x+
π
6
)+1

-
π
2
+2kπ≤2x+
π
6
π
2
+2kπ,k∈Z
,
解得2kπ-
3
≤2x≤2kπ+
π
3
,即kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
,
x∈[0,
π
2
]
,∴f(x)的遞增區(qū)間為[0,
π
6
]

(Ⅱ)由f(C)=2sin(2C+
π
6
)+1=2
,得sin(2C+
π
6
)=
1
2

而C∈(0,π),∴2C+
π
6
∈(
π
6
,
13π
6
)
,∴2C+
π
6
=
5
6
π
,可得C=
π
3

∵向量向量
m
=(1,sinA)與向量
n
=(2,sinB)共線,∴
sinA
sinB
=
1
2

由正弦定理得:
a
b
=
1
2
 ①.
由余弦定理得:c2=a2+b2-2ab•cosC,即9=a2+b2-ab ②,
由①、②解得a=
3
,b=2
3
點評:本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換,正弦函數(shù)的增區(qū)間,正弦定理、余弦定理的應用,兩個向量共線的性質,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

某班優(yōu)秀生16人,中等生24人,學困生8人,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學生中抽取6名學生做學習習慣調查,
(Ⅰ)求應從優(yōu)秀生、中等生、學困生中分別抽取的學生人數(shù);
(Ⅱ)若從抽取的6名學生中隨機抽取2名學生做進一步數(shù)據(jù)分析,
(1)列出所有可能的抽取結果;
(2)求抽取的2名學生均為中等生的概率.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

求函數(shù)y=x+
1-x2
的值域.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

以直角坐標系的原點為極點,x軸非負半軸為極軸,在兩種坐標系中取相同單位的長度.已知直線l的方程為
ρcosθ-ρsinθ-1=0(ρ>0),曲線C的參數(shù)方程為
x=2cosα
y=2+2sinα
(α為參數(shù)),點M是曲線C上的一動點.
(Ⅰ)求線段OM的中點P的軌跡方程;
(Ⅱ)求曲線C上的點到直線l的距離的最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+3在區(qū)間[-1,1]上有最小值,記作g(a).
(1)求g(a)的函數(shù)表達式;
(2)作出g(a)的函數(shù)圖象并指出它的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

執(zhí)行如圖的程序框圖,輸出的S=
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設l,m是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,有下列命題:
①l∥m,m?α,則l∥α;
②l∥α,m∥α則l∥m;
③α⊥β,l?α,則l⊥β;
④l⊥α,m⊥α,則l∥m.
其中正確的命題的個數(shù)是
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

給出下列命題:
①函數(shù)y=cos(x-
π
2
)
是奇函數(shù);
②若α、β是第一象限角,且α<β,則tanα<tanβ;
③將函數(shù)y=3sin(2x+
π
3
)
的圖象向右平移
π
3
個單位長度得到y(tǒng)=3sin2x;
④若x∈(0,
π
2
)
,則函數(shù)y=3sin(2x+
π
3
)
的值域為(-
3
3
2
,3]

則其中正確命題序號為
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

下列命題:
(1)函數(shù)y=
1
x
+x(x<0)
的值域是(-∞,-2];
(2)函數(shù)y=x2+2+
1
x2+2
最小值是2;
(3)若a,b同號且a≠b,則
a
b
+
b
a
>2

其中正確的命題是(  )
A、(1)(2)(3)
B、(1)(2)
C、(2)(3)
D、(1)(3)

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