Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx（x∈R）．
（Ⅰ）當x∈[0，

π

2

]時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對應(yīng)邊分別為a，b，c，且c=3，f（C）=2，若向量

m

=（1，sinA）與向量

n

=（2，sinB）共線，求a，b的值．

Answer 1

考點：正弦定理,平面向量共線（平行）的坐標表示,平面向量數(shù)量積的運算

專題：解三角形

分析：（I）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡f（x）的解析式為2sin(2x+

π

6

)+1．令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈z，求得x的范圍，結(jié)合x∈[0，

π

2

]，可得f（x）的遞增區(qū)間．
（Ⅱ）由f（C）=2，求得sin(2C+

π

6

)=

1

2

，結(jié)合C的范圍求得C的值．根據(jù)向量

m

=（1，sinA）與向量

n

=（2，sinB）共線，可得

sinA

sinB

=

1

2

，故有

a

b

=

1

2

 ①，再由余弦定理得9=a²+b²-ab ②，由①②求得a、b的值．

解答： 解：（I）∵f(x)=2cos2x+

3

sin2x=cos2x+

3

sin2x+1=2sin(2x+

π

6

)+1．
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
解得2kπ-

2π

3

≤2x≤2kπ+

π

3

，即kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
∵x∈[0，

π

2

]，∴f（x）的遞增區(qū)間為[0，

π

6

]．
（Ⅱ）由f(C)=2sin(2C+

π

6

)+1=2，得sin(2C+

π

6

)=

1

2

．
而C∈（0，π），∴2C+

π

6

∈(

π

6

，

13π

6

)，∴2C+

π

6

=

5

6

π，可得C=

π

3

．
∵向量向量

m

=（1，sinA）與向量

n

=（2，sinB）共線，∴

sinA

sinB

=

1

2

，
由正弦定理得：

a

b

=

1

2

 ①．
由余弦定理得：c²=a²+b²-2ab•cosC，即9=a²+b²-ab ②，
由①、②解得a=

3

，b=2

3

．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的增區(qū)間，正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，兩個向量共線的性質(zhì)，屬于中檔題．