Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=

1 2 an+n(n為奇數(shù)) an-2n(n為偶數(shù))

；
（1）a₂，a₃，a₄，a₅；
（2）設(shè)b_n=a_2n-2，求證數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（3）在（2）條件下，求證數(shù)列{a_n}前100項中的所有偶數(shù)項的和．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式．
（2）根據(jù)遞推關(guān)系式構(gòu)造關(guān)系式證明結(jié)論．
（3）利用（2）的結(jié)論求出數(shù)列的和．

解答： 解：（1）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式求得：
a2=

3

2

，a3=-

5

2

，a4=

7

4

，a=-

25

4

，
（2）已知b_n=a_2n-2，
所以：

bn+1

bn

=

1 2 a2n+1+2n+1-2

a2n-2

=

1 2 a2n-1

a2n-2

=

1

2

，
b1=a2-2=-

1

2

，
所以：數(shù)列{b_n}是以b1=-

1

2

為首，

1

2

為公比的等比數(shù)列．
（3）由（2）得：
b=(-

1

2

)(

1

2

)n-1=-(

1

2

)n=a_2n-2，
所以：a2n=2-(

1

2

)n，
S=a₂+a₄+…+a₁₀₀=2•50-

1 2 (1- 1 250 )

1- 1 2

=99+

1

250

．

點評：本題考查的知識要點：數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，等比數(shù)列的前n項和的應(yīng)用．屬于基礎(chǔ)題型．