Question

（本小題10分）如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PA＝AB＝2，M, N分別為PA, BC的中點．

（Ⅰ）證明：MN∥平面PCD；

（Ⅱ）求MN與平面PAC所成角的正切值．

 

Answer 1

（Ⅰ）證明：MN∥平面PCD；（Ⅱ ）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明MN∥平面PCD ，關鍵要在平面PCD內找到一條直線與MN平行的直線，可以通過中點找中點，構造平行四邊形找到與MN平行的直線；（Ⅱ）求MN與平面PAC所成角的正切值，首先要作出MN與平面PAC所成角的平面角，因為PA⊥平面ABCD，所以作NF⊥AC于F，連接MF，則∠FMN是MN與平面PAC所成的角的平面角，然后在Rt△MFN中解出．

試題解析：（1）取PD的中點E，連接ME, CE．

∵M, N分別為PA, BC的中點，

∴，，∴，

∴MNCE是平行四邊形，∴MN∥CE， 3分

∵CE?平面PCD，MN?平面PCD，

∴MN∥平面PCD． 5分

（2）作NF⊥AC于F，連接MF．

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥NF，又∵PA∩AC＝A，

∴NF⊥平面PAC，∴∠FMN是MN與平面PAC所成的角． 7分

在Rt△MFN中，，，，∴，

∴． 10分

考點： 1、線面平行的判定定理和性質定理；2、線面角的求法．