Question

某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162m²的三級(jí)污水處理池，池的深度一定(平面圖如圖所示)，如果池四周圍墻建造單價(jià)為400元/m²，中間兩道隔墻建造單價(jià)為248元/m²，池底建造單價(jià)為80元/m²，水池所有墻的厚度忽略不計(jì)．
 
(1)試設(shè)計(jì)污水處理池的長和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià)；
(2)若由于地形限制，該池的長和寬都不能超過16m，試設(shè)計(jì)污水池的長和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià)．

Answer 1

（1）當(dāng)長為16.2m，寬為10m時(shí)總造價(jià)最低，最低總造價(jià)為38880元．（2）當(dāng)長為16m，寬為10m時(shí)，總造價(jià)最低，為38882元．

(1)設(shè)污水處理池的寬為xm，則長為m
總造價(jià)為f(x)＝400×＋248×2x＋80×162＝1296x＋＋12960＝1296＋12960≥1296×2＋12960＝38880元．當(dāng)且僅當(dāng)x＝(x>0)，即x＝10時(shí)取等號(hào)．∴當(dāng)長為16.2m，寬為10m時(shí)總造價(jià)最低，最低總造價(jià)為38880元．
(2)由限制條件知∴10≤x≤16.設(shè)g(x)＋x＋，由函數(shù)性質(zhì)易知g(x)在上是增函數(shù)，∴當(dāng)x＝10時(shí)(此時(shí)＝16)，g(x)有最小值，即f(x)有最小值1296×＋12960＝38882(元)．∴當(dāng)長為16m，寬為10m時(shí)，總造價(jià)最低，為38882元．