Question

設(shè)函數(shù)f（x）=m-e^-nx（m，n∈R）
（1）若f（x）在點(diǎn)x=0處的切線方程為y=x，求m，n的值．
（2）在（1）條件下，設(shè)x≥0且

x

x+a

有意義時(shí)，恒有f(x)≥

x

x+a

成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用f^′（0）=1，f（0）=0即可求出；
（2）通過對(duì)a分類討論，利用研究函數(shù)的單調(diào)性即可求出．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=m-e^-nx，∴f^′（x）=ne^-nx，∴f^′（0）=n=1，
當(dāng)x=0時(shí)，y=0，∴切點(diǎn)為（0，0）．
∴f（0）=0=m-1，解得m=1．
∴m=n=1．
（2）①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=1-e^-x＜1與已知矛盾；
②當(dāng)a＜0時(shí)，f(x)≥

x

x+a

，x≥0，可變形為e-x≤

a

x+a

，
若x∈(-a，+∞)，0＜e-x＜1，

a

x+a

＜0，
此時(shí)e-x＞

a

x+a

與e-x≤

a

x+a

矛盾，因此應(yīng)舍去；
③當(dāng)a＞0時(shí)，不等式1-e-x≥

x

x+a

等價(jià)轉(zhuǎn)化為ex-

x

a

-1≥0，
令h(x)=ex-

x

a

-1，則h′(x)=ex-

1

a

，
若0＜

1

a

≤1，即a≥1時(shí)，h^′（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增，
∴h（x）≥h（0）=0，∴f(x)≥

x

x+a

恒成立；
若

1

a

＞1，即0＜a＜1時(shí)，令h′（x）=0，解得x=ln

1

a

．
當(dāng)時(shí)，x∈(0，ln

1

a

)，h^′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，此時(shí)h（x）＜h（0）=0，與h（x）≥0矛盾．
綜上所述：a的取值范圍為{a|a≥1}．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、分類討論的思想方法及導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．