Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 滿足2Sn=an+1﹣2n+1+1，n∈N* ， 且a1 ， a2+5，a3成等差數(shù)列．
（1）求a1的值；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）證明：對一切正整數(shù)n，有 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：在2Sn=an+1﹣2n+1+1中，

令n=1得：2S1=a2﹣22+1，

令n=2得：2S2=a3﹣23+1，

解得：a2=2a1+3，a3=6a1+13

又2（a2+5）=a1+a3

解得a1=1

（2）解：由2Sn=an+1﹣2n+1+1，

得an+2=3an+1+2n+1，

又a1=1，a2=5也滿足a2=3a1+21，

所以an+1=3an+2n對n∈N*成立

∴an+1+2n+1=3（an+2n），又a1=1，a1+21=3，

∴an+2n=3n，

∴an=3n﹣2n

（3）解：（法一）

∵an=3n﹣2n=（3﹣2）（3n﹣1+3n﹣2×2+3n﹣3×22+…+2n﹣1）≥3n﹣1

∴ ≤ ，

∴ + + +…+ ≤1+ + +…+ = ＜

【解析】（1）在2Sn=an+1﹣2n+1+1中，令分別令n=1，2，可求得a2=2a1+3，a3=6a1+13，又a1 ， a2+5，a3成等差數(shù)列，從而可求得a1；（2）由2Sn=an+1﹣2n+1+1， 得an+2=3an+1+2n+1①，an+1=3an+2n②，由①②可知{an+2n}為首項(xiàng)是3，3為公比的等比數(shù)列，從而可求an；（3）由an=3n﹣2n=（3﹣2）（3n﹣1+3n﹣2×2+3n﹣3×22+…+2n﹣1）≥3n﹣1可得 ≤ ，累加后利用等比數(shù)列的求和公式可證得結(jié)論；
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)和數(shù)列的通項(xiàng)公式，掌握在等差數(shù)列{an}中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng)；相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式即可以解答此題．