Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow$=（cosβ，sinβ），|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{2}$．
（1）求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的值；
（2）若0＜α＜$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{2}$＜β＜0，且sinβ=-$\frac{3}{5}$，求sin（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）由已知模的等式兩邊平方，得到所求；
（2）由（1）求出α-β，得到sin（α+β）=sin（$\frac{π}{2}$+2β）=cos2β，進一步利用倍角公式求值．

解答 解：（1）因為|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{2}$，
所以|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|²=2即${\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}=2$，
又${\overrightarrow{a}}^{2}$=${\overrightarrow}^{2}$=1，
所以$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0；
（2）因為0＜α＜$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{2}$＜β＜0，且sinβ=-$\frac{3}{5}$，
所以0＜α-β＜π，
又$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α-β）=0，
所以$α-β=\frac{π}{2}$，即$α=\frac{π}{2}+β$，
所以sin（α+β）=sin（$\frac{π}{2}$+2β）=cos2β=1-2sin²β=1-2×$\frac{9}{25}$=$\frac{7}{25}$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積、模的運算以及三角函數(shù)的化簡求值．比較基礎(chǔ)．