Question

過(guò)曲線

x2

4

+y²=1（x＞0，y＞0）上的一點(diǎn)C（x₀，y₀），引曲線的切線分別與x正半軸、y正半軸交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求證：切線AB的方程為

xx0

4

+yy₀=1；
（2）求線段AB最短時(shí)切點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)可得切線的斜率，從而可得切線AB的方程；
（2）表示出線段AB，利用導(dǎo)數(shù)求最值，即可得到線段AB最短時(shí)切點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答： （1）證明：曲線

x2

4

+y²=1（x＞0，y＞0），則y=

1- x2 4

，
∴yy′|x=x0=-

x0

4y0

，
∴切線AB的方程為y-y₀=-

x0

4y0

（x-x₀），即

xx0

4

+yy₀=1；
（2）解：切線在x軸、y軸上的截距分別為

4

x0

、

1

y0

，∴l²=

16

x02

+

1

y02

．
∵P（x₀，y₀）在曲線上，
∴y₀²=1-

x02

4

．
∴l²=

16

x02

+

4

4-x02

（0＜x₀＜2）．
令t=l²=

16

x02

+

4

4-x02

（0＜x₀＜2）．
則t′=-

32

x03

+

8x0

(4-x02)2

．
當(dāng)t′=0時(shí)，有x₀=

2 6

3

，在（0，2）內(nèi)t只有一個(gè)極值點(diǎn)，檢驗(yàn)知，在這點(diǎn)t取得極小值，也是最小值．
∴當(dāng)x₀=

2 6

3

時(shí)，l²取得最小值9．
∴l的最小值為3，此時(shí)y₀=

3

3

，切點(diǎn)為（

2 6

3

，

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，正確求出切線方程是關(guān)鍵．