Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短軸長為2，橢圓C上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)F距離的最大值為2+

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)D（0，-2）作直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)N滿足

ON

=

OA

+

OB

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求四邊形OANB面積的最大值，并求此時(shí)的直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（I）根據(jù)題意建立關(guān)于a、b、c的方程組，解之可得a=2且b=1，從而得到該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）確定四邊形OANB為平行四邊形，則S_OANB=2S_△OAB，表示出面積，利用基本不等式，即可求得最大值，從而可得直線l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短軸長為2，則b=1；
橢圓C上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)F距離的最大值為2+

3

，則a+c=2+

3

，
∴a=2，c=

3

，
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）因?yàn)?span id="wvldsot" class="MathJye">

ON

=

OA

+

OB

，所以四邊形OANB為平行四邊形，
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)顯然不符合題意；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx-2，l與橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，由

y=kx-2 x2 4 +y2=1

得（1+4k²）x²-16kx+12=0…（6分）
由△=16²k²-48（1+4k²）＞0，得k2＞

3

4

∴x1+x2=

16k

1+4k2

，x1x2=

12

1+4k2

…（8分）∵S△OAB=

1

2

|OD||x1-x2|=|x1-x2|，∴S平行四邊形OANB=2S△OAB=2|x1-x2|=2

(x1+x2)2-4x1x2

=2

( 16k 1+4k2 )2-4 12 1+4k2

=2

162k2-48(1+4k2) (1+4k2)2

=8

4k2-3 (1+4k2)2

…（10分）
令4k²-3=t，則4k²=t+3（由上可知t＞0），S平行四邊形OANB=8

t (t+4)2

=8

1 8+t+ 16 t

≤8

1 16

=2，
當(dāng)且僅當(dāng)t=4，即k2=

7

4

時(shí)取等號(hào)；∴當(dāng)k=±

7

2

，平行四邊形OANB面積的最大值為2
此時(shí)直線l的方程為y=±

7

2

x-2…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．