Question

【題目】已知函數(shù)，實數(shù)為常數(shù)）．

（1）若，且函數(shù)在上的最小值為0，求的值；

（2）若對于任意的實數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上總是減函數(shù)，對每個給定的，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)，求函數(shù)在已知區(qū)間上的極值，注意極值點是否在定義域內(nèi)，進行分類討論，確定最小值，列出關(guān)于的方程即可得結(jié)果；（2）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)小于等于0恒成立，再轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)根的分布問題.

試題解析：（1）當(dāng)時， ．

則．

令，得（舍），．

①當(dāng)>1時，

	1
		-	0	+
		↘		↗

∴當(dāng)時, ．

令，得．

②當(dāng)時， ≥0在上恒成立，

在上為增函數(shù)，當(dāng)時, ．

令，得（舍）．

綜上所述，所求為．

(2) ∵對于任意的實數(shù)， ， 在區(qū)間上總是減函數(shù)，

則對于x∈(1,3)， ＜0，

∴在區(qū)間[1,3]上恒成立．

設(shè)g(x)= ，∵，∴g(x) 在區(qū)間[1,3]上恒成立．

由g(x)二次項系數(shù)為正，得

即 亦即

∵ =，

∴ 當(dāng)n＜6時，m≤，當(dāng)n≥6時，m≤，

∴ 當(dāng)n＜6時，h(n)= ，當(dāng)n≥6時，h(n)= ，

即