Question

在△ABC中，已知2B=A+C，b=1，求a+c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用

專題：解三角形

分析：由題意和內(nèi)角和定理求出B，并求出A、C的關(guān)系式，利用正弦定理用角的正弦表示a，c，利用兩角和差的三角公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出a+c的取值范圍．

解答： 解：由題意知，△ABC中，2B=A+C，
因?yàn)锳+B+C=π，所以B=

π

3

，
則A+C=π-

π

3

=

2π

3

，C=

2π

3

-A，所以0＜A＜

2π

3

，
又b=1，由正弦定理得：

a

sinA

=

c

sinC

=

b

sinB

=

1

sin π 3

=

2 3

3

，
所以a=

2 3

3

sinA，c=

2 3

3

sinC，
則a+c=

2 3

3

（sinA+sinC）=

2 3

3

[sinA+sin（

2π

3

-A）]
=

2 3

3

（sinA+

3

2

cosA+

1

2

sinA）=

2 3

3

（

3

2

sinA+

3

2

cosA）
=2sin(A+

π

6

)，
由0＜A＜

2π

3

得，

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，則

1

2

＜sin(A+

π

6

)≤1，
即1＜2sin(A+

π

6

)≤2，
所以a+c的取值范圍是（1，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，利用條件將a+c轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，要求熟練掌握公式．