設(shè)P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，PA=PB=PC，∠BPC=2α，∠CPA=2β，∠APB=2γ，且sin2α+sin2β=sin2γ．

求證：平面PAB⊥平面ABC；

答案：
解析：

如圖所示，取AB的中點(diǎn)0，連結(jié)PO．

    ∵PA=PB，∴PO⊥AB，∠APO=∠BPO=．

    設(shè)PA=PB=PC=a，由AB=2AO=2asin，

    同理可得，AC=2asin．BC=2asin．

    ∵sin2+sin2=sin2．

    ∴BC2+CA2=AB2，即△ABC為直角三角形．

    又P在平面ABC上的射影是△ABC的外心D，∴PO⊥平面ABC．

    故平面PAB⊥平面ABC．


提示：

欲證平面PAB⊥平面ABC，需證明平面PAB內(nèi)的某一條直線垂直于平面ABC，但這“某一條直線”在何處?注意到PA=PB，可取AB的中點(diǎn)O，只要能證明PO上平面ABC即可．


練習(xí)冊系列答案
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24、設(shè)P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，P和A、B、C的距離相等，∠BAC為直角．
求證：平面PCB⊥平面ABC．

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求證：平面PCB⊥平面ABC．

 

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（12分）設(shè)P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，P和A、B、C的距離相等，∠BAC為直角.

求證：平面PCB⊥平面ABC．

 

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