已知中心在坐標原點,焦點在軸上的橢圓C;其長軸長等于4,離心率為

(Ⅰ)求橢圓C的標準方程;

(Ⅱ)若點(0,1), 問是否存在直線與橢圓交于兩點,且?若存在,求出的取值范圍,若不存在,請說明理由.

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解,直線與橢圓的位置關(guān)系的運用。

第一問中,可設(shè)橢圓的標準方程為 

則由長軸長等于4,即2a=4,所以a=2.又,所以,

又由于 

所求橢圓C的標準方程為

第二問中,

假設(shè)存在這樣的直線,設(shè),MN的中點為

 因為|ME|=|NE|所以MNEF所以

(i)其中若時,則K=0,顯然直線符合題意;

(ii)下面僅考慮情形:

,得,

,得

代入1,2式中得到范圍。

(Ⅰ) 可設(shè)橢圓的標準方程為 

則由長軸長等于4,即2a=4,所以a=2.又,所以,

又由于 

所求橢圓C的標準方程為

 (Ⅱ) 假設(shè)存在這樣的直線,設(shè),MN的中點為

 因為|ME|=|NE|所以MNEF所以

(i)其中若時,則K=0,顯然直線符合題意;

(ii)下面僅考慮情形:

,得,

,得……②  ……………………9分

代入①式得,解得………………………………………12分

代入②式得,得

綜上(i)(ii)可知,存在這樣的直線,其斜率k的取值范圍是

 

【答案】

 (Ⅰ)    (Ⅱ)

 

練習(xí)冊系列答案
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32
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OM
+
ON
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2
2

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(Ⅱ)若點E(0,1),問是否存在直線l:y=kx+m與橢圓C交于M,N兩點,且|ME|=|NE|?若存在,求出k的取值范圍,若不存在,請說明理由.

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