Question

已知平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點A（sinx，1），B（cosx，0），C（-sinx，2），點P滿足

AB

=

BP

．
（1）求函數(shù)f（x）=

BP

•

CA

的對稱軸方程；
（2）若

OP

∥

OC

，求以線段OA，OB為鄰邊的平行四邊形的對角線長．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量的綜合題

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）化簡可得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），即可求對稱軸方程；
（2）設(shè)點P的坐標為（x_p，y_p），由

AB

=

BP

，

OP

∥

OC

可得cos2x=

9

25

，故可求得|

OA

+

OB

|，|

OA

-

OB

|．

解答： 解：（1）∵

BP

=

AB

=（cosx-sinx，-1），

CA

=（2sinx，-1），
f（x）=2sinx（cosx-sinx）+1=sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

），
令2x+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z，得x=

kπ

2

+

π

8

，k∈Z，
所以函數(shù)f（x）=

BP

•

CA

的對稱軸方程為x=

kπ

2

+

π

8

，k∈Z．
（2）設(shè)點P的坐標為（x_p，y_p），則

BP

=（x_p-cosx，y_p），
∵

BP

=

AB

，∴cosx-sinx=x_p-cosx，y_p=-1，
∴x_p=2cosx-sinx，y_p=-1，∴點P的坐標為（2cosx-sinx，-1），
因為

OC

=（-sinx，2）且

OP

∥

OC

，
∴（-1）×（-sinx）=2×（2cosx-sinx），∴

sinx

cosx

=

4

3

，
∵sin²x+cos²x=1，∴cos2x=

9

25

，
∴|

OA

+

OB

|=

(sinx+cosx)2+1

=

2sinxcosx+2

=

8 3 cos2x+2

=

74

5

，
∴|

OA

-

OB

|=

(sinx-cosx)2+1

=

2-2sinxcosx

=

2- 8 3 cos2x

=

26

5

，
故以

OA

，

OB

為鄰邊的平行四邊形的對角線長分別為

74

5

，

26

5

．

點評：本題主要考察了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，平面向量的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．