Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：對任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，已知f（1）=2
（Ⅰ）求f（0），f（-1）的值；
（Ⅱ）若x＞0時，恒有f（x）＞1．判斷函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性，并證明．
（Ⅲ）若f（1+m）＜f（1-2m），求m的范圍．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用賦值法即可求f（0），f（-1）的值；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義結(jié)合抽象函數(shù)的關(guān)系即可判斷函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性，并證明．
（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可解不等式f（1+m）＜f（1-2m）．

解答： 解：（Ⅰ）令x=y=0，則f（0）=f（0）+f（0）-1，
即f（0）=1，
令x=1，y=-1得f（0）=f（1）+f（-1）-1=1，
即f（-1）=2-f（1）=2-2=0；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性遞增．
證明：設(shè)x₁＞x₂，則x₁-x₂＞0，
則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂+x₂）-f（x₂）=f（x₁-x₂）+f（x₂）-1-f（x₂）=f（x₁-x₂）-1
∵x＞0時，恒有f（x）＞1．
∴f（x₁-x₂）＞1，即f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）-1＞0，
即函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)遞增．
（Ⅲ）∵函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)遞增，
∴若f（1+m）＜f（1-2m），
則1+m＜1-2m，
即m＜0，
故m的范圍是（-∞，0）．

點評：本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用賦值法是解集抽象函數(shù)的基本方法，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義是判斷函數(shù)單調(diào)性的關(guān)鍵．