Question

在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別是棱A₁D₁，C₁D₁的中點(diǎn)，N為線段B₁C的中點(diǎn)，若點(diǎn)P，M分別為線段D₁B，EF上的動點(diǎn)，則PM+PN的最小值為（　　）

• A、1
• B、

  3 2

  4

• C、

  2 6 + 2

  4

• D、

  3 +1

  2

Answer 1

考點(diǎn)：多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：連接B₁D₁交EF于G，連接PG，則EF⊥平面B₁D₁DB，故EF⊥PG，從而PM的最小值PG，可知G為EF的中點(diǎn)，D₁G為D₁B₁的四分之一．其次，連接BD，設(shè)其中點(diǎn)為H，連接PH，BC₁，則△D₁DB≌△D₁C₁B，從而PN=PH．（實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)化，這步是解題之關(guān)鍵），最后，連接GH交BD₁于K，則當(dāng)P為K時，PM+PN取得最小值，所求最小值為GH，即可得出結(jié)論．

解答： 解：首先PM的最小值就是P到EF的距離．
連接B₁D₁交EF于G，連接PG，則EF⊥平面B₁D₁DB，故EF⊥PG，從而PM的最小值PG，可知G為EF的中點(diǎn)，D₁G為D₁B₁的四分之一．其次，連接BD，設(shè)其中點(diǎn)為H，連接PH，BC₁，則△D₁DB≌△D₁C₁B，從而PN=PH．（實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)化，這步是解題之關(guān)鍵）
最后，連接GH交BD₁于K，則當(dāng)P為K時，PM+PN取得最小值，所求最小值為GH．
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，
∴GH=

1+( 2 4 )2

=

3 2

4

．
故選：B．

點(diǎn)評：本題考查多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有難度．