Question

已知函數(shù)f(x)＝ax＋bln x＋c(a，b，c是常數(shù))在x＝e處的切線方程為(e－1)x＋ey－e＝0，且f(1)＝0.

(1)求常數(shù)a，b，c的值；

(2)若函數(shù)g(x)＝x²＋mf(x)(m∈R)在區(qū)間(1,3)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：(1)由題設知，f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝a＋.

∵f(x)在x＝e處的切線方程為(e－1)x＋ey－e＝0，

∴f′(e)＝－，且f(e)＝2－e，

即a＋＝－，且ae＋b＋c＝2－e.

又f(1)＝a＋c＝0，解得a＝－1，b＝1，c＝1.

(2)由(1)知f(x)＝－x＋ln x＋1(x>0)，

∴g(x)＝x²＋mf(x)＝x²－mx＋mln x＋m(x>0)，

∴g′(x)＝2x－m＋＝(2x²－mx＋m)(x>0)．

令d(x)＝2x²－mx＋m(x>0)．

①當函數(shù)g(x)在(1,3)內(nèi)有一個極值時，g′(x)＝0在(1,3)內(nèi)有且僅有一個根，即d(x)＝2x²－mx＋m＝0在(1,3)內(nèi)有且僅有一個根．

又∵d(1)＝2>0，∴當d(3)＝0，即m＝9時，d(x)＝2x²－mx＋m＝0在(1,3)內(nèi)有且僅有一個根x＝；當d(3)≠0時，應有d(3)<0，即2×3²－3m＋m<0，解得m>9，∴m≥9.

②當函數(shù)g(x)在(1,3)內(nèi)有兩個極值時，g′(x)＝0在(1,3)內(nèi)有兩個根，即二次函數(shù)d(x)＝2x²－mx＋m＝0在(1,3)內(nèi)有兩個不等根，

所以

解得8<m<9.

綜上，實數(shù)m的取值范圍是(8，＋∞)．