Question

設(shè)f（x）=|lgx|，a，b為實(shí)數(shù)，且0＜a＜b．
（1）求方程f（x）=1的解；
（2）若a，b滿足f（a）=f（b）=2f（

a+b

2

），試寫(xiě)出a與b的等量關(guān)系（至少寫(xiě)出兩個(gè)）；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，證明在這一關(guān)系中存在b滿足3＜b＜4．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對(duì)數(shù)方程直接可求出x的值；
（2）結(jié)合函數(shù)圖象，由f（a）=f（b）可判斷a∈（0，1），b∈（1，+∞），去絕對(duì)值可得a與b的一個(gè)等量關(guān)系，根據(jù)條件可求出另一個(gè)a與b的等量關(guān)系；
（3）由b=（

a+b

2

）²得

1

b2

+b2+2-4b=0，令g（b）=

1

b2

+b²+2-4b，根據(jù)g（3）＜0，g（4）＞0，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)g（b）在（3，4）內(nèi)一定存在零點(diǎn)．

解答：解：（1）由f（x）=1得，lgx=±1所以x=10或

1

10

…..4分
（2）結(jié)合函數(shù)圖象，由f（a）=f（b）可判斷a∈（0，1），b∈（1，+∞），…..5分
從而-lga=lgb，從而ab=1…..6分
又

a+b

2

=

1 b +b

2

，…..7分
因?yàn)閎∈（1，+∞），所以

a+b

2

＞1…..8分
從而由f（b）=2f（

a+b

2

）
可得lgb=2lg

a+b

2

=lg（

a+b

2

）²，…..9分
從而b=（

a+b

2

）²…..10分
（3）由b=（

a+b

2

）²
得4b=a²+b²+2ab…..11分

1

b2

+b2+2-4b=0…..12分
令g（b）=

1

b2

+b²+2-4b，…..14分
因?yàn)間（3）＜0，g（4）＞0，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知，…..15分
函數(shù)g（b）在（3，4）內(nèi)一定存在零點(diǎn)，
即方程

1

b2

+b2+2-4b=0存在3＜b＜4的根．…..16分．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，以及函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，同時(shí)考查了函數(shù)的圖象，以及轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．