Question

已知點(diǎn)A（0，2）和雙曲線x2-

y2

4

=1．
（1）求過點(diǎn)A可作幾條直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；
（2）當(dāng)過點(diǎn)A的直線與雙曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)時(shí)，求直線的斜率的取值范圍；
（3）當(dāng)過點(diǎn)A的直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)時(shí)，求直線的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意，直線的斜率存在，設(shè)方程，代入雙曲線方程，對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)討論，利用判別式，即可得到結(jié)論；
（2）利用4-k²≠0且△＞0，即可得到k的取值范圍；
（3）利用4-k²≠0且△＜0，即可得到k的取值范圍．

解答：解：（1）由題意，直線的斜率存在，設(shè)方程為y=kx+2
代入雙曲線方程，可得（4-k²）x²-4kx-8=0
①4-k²=0，即k=±2時(shí)，方程只有一個(gè)解，直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；
②4-k²≠0時(shí)，△=16k²+32（4-k²）=0，∴k=±2

2

，
∴過點(diǎn)A可作4條直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；
（2）由（1）知，4-k²≠0且△＞0，∴-2

2

＜k＜2

2

且k≠±2；
（3）由（1）知，4-k²≠0且△＜0，∴k＜-2

2

或k＞2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查解不等式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．