【題目】如圖,在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)面AA1C1C是菱形,AC1與A1C交于點(diǎn)O,E是棱AB上一點(diǎn),且OE∥平面BCC1B1
(1)求證:E是AB中點(diǎn);
(2)若AC1⊥A1B,求證:AC1⊥BC.
【答案】
(1)證明:連結(jié)BC1,取AB中點(diǎn)E′,
∵側(cè)面AA1C1C是菱形,AC1與A1C交于點(diǎn)O,
∴O為AC1的中點(diǎn),
∵E′是AB的中點(diǎn),
∴OE′∥BC1;
∵OE′平面BCC1B1,BC1平面BCC1B1,
∴OE′∥平面BCC1B1,
∵OE∥平面BCC1B1,
∴E,E′重合,
∴E是AB中點(diǎn)
(2)證明:∵側(cè)面AA1C1C是菱形,
∴AC1⊥A1C,
∵AC1⊥A1B,A1C∩A1B=A1,A1C平面A1BC,A1B平面A1BC,
∴AC1⊥平面A1BC,
∵BC平面A1BC,
∴AC1⊥BC.
【解析】(1)利用同一法,首先通過(guò)連接對(duì)角線(xiàn)得到中點(diǎn),進(jìn)一步利用中位線(xiàn),得到線(xiàn)線(xiàn)平行,進(jìn)一步利用線(xiàn)面平行的判定定理,得到結(jié)論.(2)利用菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直,進(jìn)一步利用線(xiàn)面垂直的判定定理,得到線(xiàn)面垂直,最后轉(zhuǎn)化成線(xiàn)線(xiàn)垂直.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓的方程為:,直線(xiàn)的方程為.
(1)求證:直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn);
(2)當(dāng)直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)最短時(shí),求直線(xiàn)的方程;
(3)在(2)的前提下,若為直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn),且圓上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)到點(diǎn)的距離為,求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)圓上的點(diǎn)A(2,3)關(guān)于直線(xiàn)x+2y=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)仍在圓上,且直線(xiàn)x-y+1=0被圓截得的弦長(zhǎng)為2,求圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng),顧客購(gòu)買(mǎi)一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng).抽獎(jiǎng)方法是:從裝有個(gè)紅球,和個(gè)白球的甲箱與裝有個(gè)紅球,和個(gè)白球,的乙箱中,各隨機(jī)摸出個(gè)球,若模出的個(gè)球都是紅球則中獎(jiǎng),否則不中獎(jiǎng).
(1)用球的標(biāo)號(hào)列出所有可能的模出結(jié)果;
(2)有人認(rèn)為:兩個(gè)箱子中的紅球比白球多所以中獎(jiǎng)的概率大于不中獎(jiǎng)的概率,你認(rèn)為正確嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工廠(chǎng)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,已知生產(chǎn)每噸甲、乙兩種產(chǎn)品所需煤、電力、勞動(dòng)力、獲得利潤(rùn)及每天資源限額(最大供應(yīng)量)如表所示:
資源 消耗量 產(chǎn)品 | 甲產(chǎn)品(每噸) | 乙產(chǎn)品(每噸) | 資源限額(每天) |
煤() | 9 | 4 | 360 |
電力() | 4 | 5 | 200 |
勞力(個(gè)) | 3 | 10 | 300 |
利潤(rùn)(萬(wàn)元) | 7 | 12 |
問(wèn):每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少?lài)崳@得利潤(rùn)總額最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列和滿(mǎn)足:, ,,其中.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;
(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為,問(wèn)是否存在正整數(shù),使得成立?若存在,求的最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方體中, 是的中心, 分別是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn),且, .
(Ⅰ)若直線(xiàn)平面,求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)若,正方體的棱長(zhǎng)為2,求平面和平面所成二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱中,,,,分別為棱的中點(diǎn).
(1)求證:∥平面
(2)若異面直線(xiàn)與 所成角為,求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)|θ|< ,n為正整數(shù),數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=sin tannθ,其前n項(xiàng)和為Sn
(1)求證:當(dāng)n為偶函數(shù)時(shí),an=0;當(dāng)n為奇函數(shù)時(shí),an=(﹣1) tannθ;
(2)求證:對(duì)任何正整數(shù)n,S2n= sin2θ[1+(﹣1)n+1tan2nθ].
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