Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2x+4，其定義域為[a，a+1]（a∈R）．
（1）當a=1時，求f（x）的值域；
（2）設f（x）的值域為B，若7∈B，求f（x）的最小值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）對f（x）進行配方得f（x）=（x-1）²+3，a=1時，定義域為[1，2]，通過解析式即可求出f（x）的值域；
（2）因為7∈B，所以x²-2x+4=7，解得x=-1，或3，所以-1∈[a，a+1]，或3∈[a，a+1]．-1∈[a，a+1]時，a≤-1≤a+1，能得到-1≤a+1≤0，所以f（x）在[a，a+1]上單調(diào)遞減，所以x=a+1時，f（x）取最小值x²+3，同樣的方法，當3∈[a，a+1]時，f（x）的最小值求出是a²-2a+4．

解答： 解：（1）a=1時，f（x）的定義域為[1，2]；
f（x）=x²-2x+4=（x-1）²+3，∴f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增；
∴f（x）的值域為[f（1），f（2）]=[3，4]；
（2）解x²-2x+4=7得x=-1或3；
∵f（x）的定義域為[a，a+1]；
∴-1∈[a，a+1]，或3∈[a，a+1]；
當-1∈[a，a+1]時，a≤-1≤a+1，∴-2≤a≤-1，-1≤a+1≤0；
∴f（x）在[a，a+1]上單調(diào)遞減，x=a+1時，f（x）取最小值a²+3；
當3∈[a，a+1]時，a≤3≤a+1，∴2≤a≤3；
∴f（x）在[a，a+1]上單調(diào)遞增；
∴x=a時，f（x）取最小值a²-2a+4．

點評：考查對二次函數(shù)配方，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求二次函數(shù)的值域，以及根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求二次函數(shù)的最值．