Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{4}$+$\frac{a}{x}$-lnx-$\frac{3}{2}$，其中a∈R，且曲線y=f（x在點(diǎn)（1，f（1））處的切線垂直于直線y=$\frac{1}{2}$x．
（1）求a的值及在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．

Answer 1

分析 （1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由切線方程，可得a，進(jìn)而得到切線方程；
（2）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，即可得到極值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{x}{4}+\frac{a}{x}-lnx-\frac{3}{2}$的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=$\frac{1}{4}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$，
曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為-$\frac{3}{4}$-a，
由于切線垂直于直線y=$\frac{1}{2}$x，即有-$\frac{3}{4}$-a=-2，
解得a=$\frac{5}{4}$，
則f（x）=$\frac{x}{4}$+$\frac{5}{4x}$-lnx-$\frac{3}{2}$，f（1）=$\frac{1}{4}$+$\frac{5}{4}$-$\frac{3}{2}$=0，
則在點(diǎn)（1，0）處的切線方程為y=-2（x-1），即為2x+y-2=0；
（2）f（x）=$\frac{x}{4}$+$\frac{5}{4x}$-lnx-$\frac{3}{2}$，（x＞0），
導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{1}{4}$-$\frac{5}{4{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}-4x-5}{4{x}^{2}}$=$\frac{（x-5）（x+1）}{4{x}^{2}}$，
由f′（x）＞0，解得x＞5；由f′（x）＜0，解得0＜x＜5．
則f（x）的增區(qū)間為（5，+∞），減區(qū)間為（0，5），
即有f（x）的極小值為f（5）=-ln5，無(wú)極大值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．